ブラック–ショールズ方程式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 15:13 UTC 版)
「ブラック–ショールズ方程式」の記事における「ブラック–ショールズ方程式の導出」の解説
ブラック–ショールズモデルの下で、満期 T において行使価格が K であるヨーロピアン・コールのオプションプレミアム C = C(St, t) が無裁定となるように適正な価格となる条件を求める。区間 [0, T] で自己資本充足的な取引戦略 (a, b) を、各 t 時点で次のように定める。これを複製ポートフォリオ (replicating portfolio) という。 C ( S t , t ) = a t S t + b t B t {\displaystyle C(S_{t},t)=a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}} 上式右辺の複製ポートフォリオの自己資金充足性により、次の式が導かれる。 d C = d ( a t S t + b t B t ) = a t d S t + b t d B t = ( μ a t S t + r b t B t ) d t + σ a t S t d W t {\displaystyle dC=d{\Big (}a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}{\Big )}=a_{t}dS_{t}+b_{t}dB_{t}=(\mu a_{t}S_{t}+rb_{t}B_{t})dt+\sigma a_{t}S_{t}dW_{t}} 他方、伊藤の公式により次の式が立つ。 d C = ∂ C ∂ t d t + ∂ C ∂ S t d S t + σ 2 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 d t = ( ∂ C ∂ t + μ S t ∂ C ∂ S t + σ 2 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 ) d t + σ S t ∂ C ∂ S t d W t {\displaystyle {\begin{aligned}dC&={\frac {\partial C}{\partial t}}dt+{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}dS_{t}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}dt\\&=\left({\frac {\partial C}{\partial t}}+\mu S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}\right)\!dt+\sigma S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}dW_{t}\end{aligned}}} 係数を比較してやると、次の式が得られる。 a t = ∂ C ∂ S t , {\displaystyle a_{t}={\frac {\partial C}{\partial S_{t}}},} μ a t S t + r b t B t = ∂ C ∂ t + μ S t ∂ C ∂ S t + σ 2 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 {\displaystyle \mu a_{t}S_{t}+rb_{t}B_{t}={\frac {\partial C}{\partial t}}+\mu S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}} これらの式と C ( S t , t ) = a t S t + b t B t {\displaystyle C(S_{t},t)=a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}} から at, bt を消去すると、次の偏微分方程式が得られる。 r C = ∂ C ∂ t + 1 2 σ 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 + r S t ∂ C ∂ S t {\displaystyle rC={\frac {\,\partial C\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}C\,}{\partial S_{t}^{2}}}+rS_{t}{\frac {\partial C}{\,\partial S_{t}\,}}} この偏微分方程式をブラック–ショールズ方程式(英: Black–Scholes equation)、またはブラック–ショールズ偏微分方程式(英: Black–Scholes partial differential equation)と言う。この方程式の境界条件は以下の3つである。 C(0, t) = 0 (t (≤ T) は任意) C(St, t) ∼ St as St → ∞ (t (≤ T) は任意) C(ST, T) = max{ST − K, 0}
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