フレジェ点
(フレジェの定理 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/13 08:49 UTC 版)
フレジェ点（フレジェてん、英: Frégier point、仏: Point de Frégier[注釈 1]）は、ある点とそれを通る円錐曲線に対して定義される点である。
定義
点FをMのフレジェ点という。
フレジェ自身による証明は解析的であった。
解釈
点Oを中心とする円上に点Aをとる。直線dを相応の軸、Aを相応の中心とする調和相応（点Pを、直線dとAPの交点とAとにおける調和共役点に移す変換）による円の像は、点Aで円と接する円錐曲線となる。2点M, Nを円の直径の端点として、その調和相応の像M', N'を書いたとき、∠M'AN' = ∠MAN = 90°である。円の弦（直径）MNは常に円の中心Oを通るため、Oの調和相応の像としてフレジェ点Fの存在が示される[4]。
応用
フレジェの定理によって、円錐曲線の接線の作図を行うことができる。
- 点Mを通る直線とMにおけるその垂線を書く。
- この2直線はMを通る円錐曲線と、それぞれMでない点で再び交わる。このときMと2交点は直角三角形を成す。
- 操作1,2を他の直線で同様に行い円錐曲線におけるMのフレジェ点Fを作図する。
- 直線MFに垂直なMを通る直線は、円錐曲線のMにおける接線となる[3]。
性質
- 円錐曲線上を点が動くとき、そのフレジェ点の軌跡はもとの円錐曲線とその中心で相似の位置にある円錐曲線となる[4]。特に円錐曲線が放物線であるときはその放物線を平行移動したものとなる。円の場合は、円の中心となる点に退化する。
- 4点を通る円錐曲線において、そのうちの1点Pのフレジェ点は、他の3点を頂点とする三角形におけるPの Orthotransversal 上にある[5]。
一般化
直角を任意の角に置き換えたとき、弦の包絡線は、元の円錐曲線と相似な円錐曲線で、その中心はフレジェ点を通るある直線上にある[6]。
任意の点Mについて、Mに対して直角を成す円錐曲線Cの弦の包絡線はMを焦点、MのCにおける極線を準線とする円錐曲線となる[7]。
脚注
注釈
- ^ フレジェ（Frégier;フレジェー、フレジエ、フレジエーとも）は、フランスの数学者。エコール・ポリテクニーク出身でトロワの大学にて教授を務めた。1810年代に Annales de Gergonne にいくつかの論文を寄稿した[1]。
出典
- ^ “Frégier”. NUMDAM. 2025年4月10日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W. "Frégier's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ a b Frégier (1815-1816). “Géométrie analitique. Théorèmes nouveaux sur les lignes et surfaces du second ordre” (フランス語). Annales de mathématiques pures et appliquées 6: 229–241. ISSN 2400-4790.
- ^ a b Michel Guillerault (1996年). “Le point de Frégier”. Cabri-géomètre. 2025年4月10日閲覧。
- ^ Satyanarayana, K. (1933). “On Conics Having a Common Self-conjugate Triangle”. The Mathematics Student 5: 19.
- ^ Weiss 2018.
- ^ Russell 1851; Walker 1934; Ayyangar 1935.
- ^ Odehnal, Boris (2024). “Frégier’s Theorem in 3 Dimensions”. 21th International Conference on Geometry and Graphics..
参考文献
- Russell, John Wellesley (1851). An elementary treatise on pure geometry with numerous examples. Oxford Clarendon Press. p. 94
- Cazamian, André (1894). “Remarques sur le théorème de Frégier” (フランス語). Nouvelles annales de mathématiques 13: 322–324. ISSN 2400-4782.
- Servais, C. (1912). “Extension des théorèmes de Frégier aux courbes et aux surfaces algébriques”. Nouvelles annales de mathématiques 12: 145–156.
- Magron, P. (1913). “Sur le point de Frégier dans l'hyperbole”. Nouvelles annales de mathématiques 13: 145–149.
- Walker, A. G. (1934-02). “1098. A generalisation of the Frégier point” (英語). The Mathematical Gazette 18 (227): 48–49. doi:10.2307/3607650. ISSN 0025-5572.
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- Ayyangar, A. A. Krishnaswami (1936). “Theory of the General Frégier-Point”. The Mathematical Gazette 20 (239): 191–198. doi:10.2307/3608070. ISSN 0025-5572.
- Spezia, Clotilda (1954). “Collegiate Articles: Graduate Training Not Required for Reading: Harmonic Points and Loci Connected with the Frégier Theorem”. Mathematics Magazine 28 (1): 13–19. doi:10.2307/3029431. ISSN 0025-570X.
- Neville, E. H. (1943). “1664. Notes on Conics. 8: Phantom Powers and Frégier Points”. The Mathematical Gazette 27 (275): 132–135. doi:10.2307/3607226.
- Bond, Clifford (1969-10). “3228. Frégier returns” (英語). The Mathematical Gazette 53 (385): 285–286. doi:10.2307/3614954.
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
- Schröcker, Hans-Peter (2015), Singular Frégier Conics in Non-Euclidean Geometry. arXiv:1605.07437.
- Weiss, Gunter (2018). “Frégier points revisited”. Proceedings of the Czech and Slovak Conference on Magnetism.
- Odehnal, Boris (2022-12-28). “Pencils of Frégier Conics”. KoG 26 (26): 33–43. doi:10.31896/k.26.3. ISSN 1331-1611.
- Laurain, Dominique (2022), Fregier Ellipses. arXiv:2206.03747.
- Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel. ISBN 978-2705670849
- Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, ISBN 978-2-916352-12-1
関連項目
- フレジェ点のページへのリンク
