ハミルトン力学によるネーターの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 05:35 UTC 版)
「ネーターの定理」の記事における「ハミルトン力学によるネーターの定理」の解説
ハミルトン力学においてネーターの定理は次のように表現される。 ハミルトニアンがある微少変換 δ {\displaystyle \delta } について不変であれば δ {\displaystyle \delta } の生成子 G δ {\displaystyle G_{\delta }} は時間不変である。 ここで δ {\displaystyle \delta } の生成子 G δ {\displaystyle G_{\delta }} とは、 δ {\displaystyle \delta } によるベクトル ( q i , p i ) {\displaystyle (q^{i},p^{i})} の増分 δ ( q i , p i ) {\displaystyle \delta (q^{i},p^{i})} が δ ( q i , p i ) = ( ∂ G δ ∂ p i , − ∂ G δ ∂ q i ) {\displaystyle \delta (q^{i},p^{i})=\left({\frac {\partial G_{\delta }}{\partial p^{i}}},-{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial q^{i}}}\right)} と表すことのできる量である。この定義から、 ある観測量 A ( q i , p i ) {\displaystyle A(q^{i},p^{i})} の δ {\displaystyle \delta } による変化 δ A ( q i , p i ) {\displaystyle \delta A(q^{i},p^{i})} は A {\displaystyle A} と G δ {\displaystyle G_{\delta }} のポアソン括弧により表される。 δ A ( q i , p i ) = ∇ A ⋅ δ ( q i , p i ) = ∇ A ⋅ ( ∂ G δ ∂ p i , − ∂ G δ ∂ q i ) = ( ∂ A ∂ q i ∂ G δ ∂ p i − ∂ A ∂ p i ∂ G δ ∂ q i ) = { A , G δ } {\displaystyle \delta A(q^{i},p^{i})=\nabla A\cdot \delta (q^{i},p^{i})=\nabla A\cdot \left({\frac {\partial G_{\delta }}{\partial p^{i}}},-{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial q^{i}}}\right)=\left({\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial p^{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p^{i}}}{\frac {\partial G_{\delta }}{\partial q^{i}}}\right)=\{A,G_{\delta }\}} ハミルトニアンが微少変換 δ {\displaystyle \delta } について不変ならば、 δ H ( q i , p i ) = { H , G δ } = 0 {\displaystyle \delta H(q^{i},p^{i})=\{H,G_{\delta }\}=0} が成り立つ。ポアソン括弧の歪対称性より { H , G δ } = − { G δ , H } = − d G δ d t = 0 {\displaystyle \{H,G_{\delta }\}=-\{G_{\delta },H\}=-{\frac {dG_{\delta }}{dt}}=0} よって G δ {\displaystyle G_{\delta }} は時間不変である。 ( ∂ A ∂ p i , − ∂ A ∂ q i ) {\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial p^{i}}},-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}\right)} は位相空間上のAの等高線に沿ったベクトルと考えることができる。これを「 A {\displaystyle A} が生み出す流れ」と呼ぶと、ポアソン括弧 { A , B } {\displaystyle \{A,B\}} は、「Bが生み出す流れに沿ったAの変化」と考えることができる。ネーターの定理の一般化は次のようになる。 { A , B } = 0 {\displaystyle \{A,B\}=0} ならば、 { B , A } = 0 {\displaystyle \{B,A\}=0} もしくは AがBの生み出す流れについて不変であるとき、BもAの生み出す流れについて不変である。 ハミルトニアンHは時間変化の生成子であるため、もしHがある観測量Aの生み出す流れについて不変であれば、 AはHの生み出す流れ、つまり時間について不変である。
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