ハウスドルフ容積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/14 10:21 UTC 版)
「ハウスドルフ次元」の記事における「ハウスドルフ容積」の解説
X を距離空間とする。S ⊂ X および d ∈ [0, ∞) に対して、S の d-次元ハウスドルフ容積は、半径 ri > 0 の球体 B(xi, ri) からなる（高々可算な）列による S の被覆がとれるときの、半径の d-乗和 ∑i r di の下限（英語版）: C Haus d ( S ) := inf { ∑ i ∈ N r i d : ∃ I ⊆ N , ∃ ( x i ) i ∈ I , ∃ ( r i ) i ∈ I s.t. S ⊂ ⋃ i ∈ I B ( x i , r i ) } {\displaystyle C_{\text{Haus}}^{d}(S):=\inf {\Big \{}\sum _{i\in \mathbb {N} }r_{i}^{d}:\exists I\subseteq \mathbb {N} ,\exists (x_{i})_{i\in I},\exists (r_{i})_{i\in I}{\text{ s.t. }}S\subset \bigcup _{i\in I}B(x_{i},r_{i}){\Bigr \}}} と定義される。言い換えれば、 ∑ i ∈ I r i d < δ {\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta } を満たす半径 ri > 0 を持つ球によって S を被覆するときの、δ の下限である（ただし、標準的な規約 (inf ∅ = +∞) に則り、そのような δ が存在しない場合のハウスドルフ容積は無限大とする)。
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