チェビシェフの不等式
チェビシェフの不等式（チェビシェフのふとうしき、英: Chebyshev's inequality）は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。
標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の n 倍以上離れた値は全体の 1/n2 以下である。
歴史
この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméである[1]:98。
この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明され[2]、後の1867年にチェビシェフによってより一般的な形で証明された[3][4]。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは、1884年に博士論文の中で別証明を与えた[5]。
一般的表現
この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合（測度空間の次元が 1）として、確率論での形が導かれる。
測度論的表現
(X, Σ, μ) を測度空間、f を X 上で定義された拡張実数（無限大を含む）値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して
チェビシェフの不等式と同じ種類の言葉
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