ショックの異時点間における影響
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 01:42 UTC 版)
「自己回帰モデル」の記事における「ショックの異時点間における影響」の解説
自己回帰モデルにおいて、一時点でのショックは将来の更新変数の値に恒久的に影響を与える。例えば、AR(1) モデル X t = c + φ 1 X t − 1 + ε t {\displaystyle X_{t}=c+\varphi _{1}X_{t-1}+\varepsilon _{t}} を考えてみよう。t=1 時点での ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} の値がゼロでなければ、 ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} の量だけ X 1 {\displaystyle X_{1}} に影響がある。この時、 X 1 {\displaystyle X_{1}} から見た X 2 {\displaystyle X_{2}} についてのAR方程式により、 ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} は φ 1 ε 1 {\displaystyle \varphi _{1}\varepsilon _{1}} の量だけ X 2 {\displaystyle X_{2}} に影響を与える。さらに、 X 2 {\displaystyle X_{2}} から見た X 3 {\displaystyle X_{3}} についてのAR方程式により、 ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} は φ 1 2 ε 1 {\displaystyle \varphi _{1}^{2}\varepsilon _{1}} の量だけ X 3 {\displaystyle X_{3}} に影響を与える。これを繰り返すことで ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} の効果は永久に波及することが分かる。しかしながら、過程が定常過程ならば、この効果は極限において0となる。 全てのショックが、それが起こった時点から X に恒久的に影響を与えるため、任意の与えられた Xt の値は過去に起こったショック全てから影響を受ける。これは自己回帰方程式 ϕ ( B ) X t = ε t {\displaystyle \phi (B)X_{t}=\varepsilon _{t}\,} （ここで定数項は変数が平均からの逸脱として測定されると仮定することで無視できる）が以下のように書き直せることからもまた分かる。 X t = 1 ϕ ( B ) ε t . {\displaystyle X_{t}={\frac {1}{\phi (B)}}\varepsilon _{t}\,.} 右辺における多項式の除算が可能なのであれば、 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} に適用される後退オペレーターによる多項式は無限次元のオーダーを持つ。つまり、 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} のラグ値が方程式の右辺において無限個現れる。
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