コロンボ代数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 14:04 UTC 版)
簡単な例は N 上の多項式スケール s = { a m : N → R , n ↦ n m ; m ∈ Z } {\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\,n\mapsto n^{m};\;m\in \mathbb {Z} \}} を用いて得られる。このとき、任意の半ノルム代数 (E, P) に対して、商空間 G s ( E , P ) = { f ∈ E N ∣ ∀ p ∈ P , ∃ m ∈ Z : p ( f n ) = o ( n m ) } { f ∈ E N ∣ ∀ p ∈ P , ∀ m ∈ Z : p ( f n ) = o ( n m ) } {\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}} が構成できる。特に、(E, P) = (C, |•|) であるとき、コロンボの超複素数が得られる（これは「無限大」および「無限小」を含んで、なおも厳密な四則演算が展開できるようなもので、超実数とよく似ている）。また、 (E, P) = (C∞(R), {pk}) のときは（ただし、pk は、k-階以下の全ての導関数についての、半径 k の球体上での値の上限）、コロンボの単純化代数が得られる。
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