ケイリー・ハミルトンの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:38 UTC 版)
「余因子行列」の記事における「ケイリー・ハミルトンの定理」の解説
詳細は「ケイリー・ハミルトンの定理」を参照 pA(t) を線形変換 A の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、t を A に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう： p A ( A ) = O {\displaystyle p_{A}(A)=O} 定数項を分離し両辺に adj(A) を掛けることで、余因子行列は A と pA(t) の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる： adj ( A ) = ∑ s = 0 n − 1 A s ∑ k 1 , ⋯ , k n − 1 ∏ ℓ = 1 n − 1 ( − 1 ) k ℓ + 1 ℓ k ℓ k ℓ ! tr ( A ℓ ) k ℓ {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\textstyle \sum \limits _{s=0}^{n-1}A^{s}\sum \limits _{k_{1},\cdots ,k_{n-1}}\prod \limits _{\ell =1}^{n-1}{\dfrac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (A^{\ell })^{k_{\ell }}} ここで n は A の次数、総和 ∑ の s, 数列 kl ≥ 0 は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする： s + ∑ ℓ = 1 n − 1 ℓ k ℓ = n − 1 {\displaystyle s+\textstyle \sum \limits _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1} 特に 2次の場合は、次のようになる： adj ( A ) = I 2 ( tr A ) − A {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=I_{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A} 3次の場合は adj ( A ) = 1 2 I 3 ( ( tr A ) 2 − tr A 2 ) − A ( tr A ) + A 2 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{2}}I_{3}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)-A\left(\operatorname {tr} A\right)+A^{2}} 4次の場合は adj ( A ) = 1 6 I 4 ( ( tr A ) 3 − 3 tr A tr A 2 + 2 tr A 3 ) − 1 2 A ( ( tr A ) 2 − tr A 2 ) + A 2 ( tr A ) − A 3 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{6}}I_{4}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)-{\frac {1}{2}}A\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)+A^{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A^{3}} 上記の表示式は、A の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。
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