ガンマ分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/01 22:40 UTC 版)
Xi (i=1,..,n)が形状パラメータをα、尺度パラメータをβとするガンマ分布に従うとする（X ∼ Γ(α, β)）。このとき、対数尤度関数は l ( α , β , x ) = − n ln Γ ( α ) − n α ln β + ( α − 1 ) ∑ i = 1 n ln x i − 1 β ∑ i = 1 n x i {\displaystyle l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )=-n\ln {\Gamma (\alpha )}-n\alpha \ln {\beta }+(\alpha -1)\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} であり、尤度方程式は ∂ l ( α , β , x ) ∂ α = − n ψ ( α ) − n ln β + ( α − 1 ) ∑ i = 1 n ln x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \alpha }}=-n\psi (\alpha )-n\ln {\beta }+(\alpha -1)\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}=0} ∂ l ( α , β , x ) ∂ β = − n α β + 1 β 2 ∑ i = 1 n x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \beta }}=-{\frac {n\alpha }{\beta }}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=0} となる。ここではψ(α)はガンマ関数の対数微分であるディガンマ関数を表す。これらを整理すると最尤推定値^β、^αが満たすべき関係式 β ^ = 1 α ^ 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{\hat {\alpha }}}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} α ^ = 1 n ∑ i = 1 n x i ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n exp ( ψ ( α ^ ) ) {\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}}\exp {(\psi ({\hat {\alpha }}))}} を得る。第二式を満たす^αを数値的に求めれば、第一式より^βも定まる。
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ガンマ分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 08:52 UTC 版)
形状パラメータα、尺度パラメータβのガンマ分布において、フィッシャー情報行列は I ( α , β ) = ( ψ ′ ( α ) 1 β 1 β α β 2 ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\psi '(\alpha )&{\frac {1}{\beta }}\\{\frac {1}{\beta }}&{\frac {\alpha }{\beta ^{2}}}\end{pmatrix}}} で与えられる。但し、ψ(α)はディガンマ関数を表す。
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