ガンマ函数・ルジャンドル函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/28 02:24 UTC 版)
「乗法定理」の記事における「ガンマ函数・ルジャンドル函数」の解説
倍数公式および乗法定理はガンマ函数に対するものが原型的な例である。ガンマ函数の倍数公式は Γ ( z ) ⋅ Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma \!\!\left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)} で与えられ、アドリアン゠マリ・ルジャンドルに因んでルジャンドル倍数公式やルジャンドル関係式と呼ばれる。一般の乗法定理は、自然数 k ≥ 1 に対して Γ ( z ) Γ ( z + 1 k ) Γ ( z + 2 k ) ⋯ Γ ( z + k − 1 k ) = ( 2 π ) k − 1 2 k 1 / 2 − k z Γ ( k z ) {\displaystyle \Gamma (z)\,\Gamma \!\!\left(z+{\frac {1}{k}}\right)\Gamma \!\!\left(z+{\frac {2}{k}}\right)\dotsb \Gamma \!\!\left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}k^{1/2-kz}\Gamma (kz)} で与えられ、カール・フリードリヒ・ガウスに因んでガウスの乗法公式と呼ばれる。ガンマ函数に対するこの乗法定理は、チョウラ–セルバーグの公式の自明指標に対する特別の場合として理解することができる。
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