ガトー微分との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 09:38 UTC 版)
函数 f: U ⊂ V → W が x ∈ U においてガトー微分可能であるとは、f が x において任意の方向へ沿った方向微分を持つときに言う。これはつまり、任意に選んだ h ∈ V に対して函数 g: V → W で g ( h ) = lim t → 0 f ( x + t h ) − f ( x ) t {\displaystyle g(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+th)-f(x)}{t}}} を満たすものが存在するという意味である。ただし、t は V に付随する係数体から取ったものである（ふつう t は実数である）。f が x においてフレシェ微分可能ならば、f は x においてガトー微分可能かつ g は線型作用素 A = Df(x) とちょうど一致する。しかし、任意のガトー可微分函数は必ずしもフレシェ微分可能でない。 例えば、 f ( x , y ) = { x 3 x 2 + y 2 if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}} で定義される実二変数実数値函数 f は (0, 0) において連続かつガトー微分可能で、その導函数は g ( a , b ) = { a 3 a 2 + b 2 if ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( a , b ) = ( 0 , 0 ) . {\displaystyle g(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&{\mbox{ if }}(a,b)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(a,b)=(0,0).\end{cases}}} となるが、函数 g は線型作用素でなく、故にこの函数 f はフレシェ微分可能でない。 より一般に、(r, φ) を (x, y) の極座標として、f(x, y) = g(r)h(φ) の形の函数は、g が 0 において微分可能で h(φ + π) = −h(φ) を満たすならば、(0, 0) において連続かつガトー微分可能となるが、ガトー導函数は線型であることしか言えず、フレシェ導函数が存在するのは h が正弦曲線であるときに限る。 別な状況として、 f ( x , y ) = { x 3 y x 6 + y 2 if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}} で与えられる函数 f は (0, 0) においてガトー微分可能で、任意の (a, b) に対して g(a, b) = 0, 従って線型作用素となる導函数を持つが、f は (0, 0) において連続でなく（これは曲線 (t, t3) に沿って原点に近づければわかる）、従って f は原点においてフレシェ微分可能とはなり得ない。 もっと微妙な例というのが、 f ( x , y ) = { x 2 y x 4 + y 2 x 2 + y 2 if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}} は連続函数、つまり (0, 0) においてガトー微分可能で、そのガトー導函数 g(a, b) = 0 はやはり線型となるが、f はフレシェ微分可能でない。仮にフレシェ微分可能であるとすると、そのフレシェ導函数はガトー導函数と一致せねばならず、それは零作用素なのだから、極限 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) | x 2 y x 4 + y 2 | {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right|} は零であるはずだが、一方曲線 (t, t2) に沿って原点に近づければ、この極限が存在しないことがわかる。 これらの場合が生じ得るのは、ガトー微分の定義において差分商の各方向への極限が個々に存在することのみを課し、異なる方向に対する収斂の速さについての条件を課さなかったからである。従って、与えられた正数 ε に対し、与えられた点の適当な近傍において各方向への差分商がその極限と ε 以内に収まるようすることができるけれども（これらの近傍は方向ごとに異なっていてもよい）、これらの近傍をどれほどでも小さくできるような方向の列が存在し得るから、点列をこれらの方向に沿って選ぶならば（全ての方向を一斉に考慮する）フレシェ微分における商は収斂しない。従って、線型ガトー導函数がフレシェ導函数の存在を保証するためには、差分商は全ての方向に対して一様に収斂しなければならない。 次の例は無限次元でのみ意味を持つものである。X をバナッハ空間、φ を X 上の線型汎函数で、x = 0 において不連続とする（不連続線型汎函数）。 f ( x ) = ‖ x ‖ φ ( x ) {\displaystyle f(x)=\|x\|\varphi (x)} と置けば f(x) は x = 0 でガトー微分可能で導函数は 0 となるが、極限 lim x → 0 φ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}\varphi (x)} は存在しないから、f(x) はフレシェ微分可能でない。
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