エネルギー最小化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:55 UTC 版)
物理学においてラプラス作用素が現れる別な理由は、領域 U における方程式 ∆f = 0 の解はディリクレエネルギー汎函数を停留させる函数 E ( f ) := 1 2 ∫ U ‖ ∇ f ‖ 2 d x {\displaystyle E(f):={\frac {1}{2}}\int _{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\,dx} となることである。これを見るために f: U → R は函数で、函数 u: U → R は U の境界上で消えていると仮定する。このとき d d ε | ε = 0 E ( f + ε u ) = ∫ U ∇ f ⋅ ∇ u d x = − ∫ U u Δ f d x {\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}{\Bigg |}_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\Delta f\,dx} が成り立つ（ただし、最後の等号はグリーンの第一恒等式（英語版）を用いた）。この計算により、∆f = 0 ならば E は f の周りで停留する。逆に E が f の周りで停留するならば変分法の基本補題（英語版） により ∆f = 0 である。
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