エクマン境界層の一般解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/14 02:40 UTC 版)
「エクマン境界層」の記事における「エクマン境界層の一般解」の解説
二次元回転平面流体において、圧力傾度力、コリオリ力、渦粘性が釣り合っている状況を考える。すなわち。平面流れ(u , v ) が次の微分方程式系に従うと考える。 − f v = − 1 ρ o ∂ p ∂ x + K z ∂ 2 u ∂ z 2 , f u = − 1 ρ o ∂ p ∂ y + K z ∂ 2 v ∂ z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+K_{z}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\fu&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+K_{z}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}} ここで地衡流 (ug , vg ) を考えると、 − f v g = − 1 ρ o ∂ p ∂ x f u g = − 1 ρ o ∂ p ∂ y {\displaystyle {\begin{aligned}-fv_{g}&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}\\fu_{g}&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}\end{aligned}}} 非地衡流成分 u' = u - ug , v' = v - vg が従う方程式は − f v ′ = K z ∂ 2 u ′ ∂ z 2 , f u ′ = K z ∂ 2 v ′ ∂ z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-fv^{\prime }&=K_{z}{\frac {\partial ^{2}u^{\prime }}{\partial z^{2}}},\\fu^{\prime }&=K_{z}{\frac {\partial ^{2}v^{\prime }}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}} 以下では、非地衡流成分 u' , v' を省略して u , v と記す。 ここで複素速度 V = u + iv （i は虚数単位）を用いると、次の二階連立偏微分方程式にまとめることができる。 K z ∂ 2 V ∂ z 2 = i f V {\displaystyle K_{z}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=ifV} この微分方程式の一般解は V = A exp [ ( i f K z ) 1 2 z ] + B exp [ − ( i f K z ) 1 2 z ] {\displaystyle V=A\exp \left[\left({\frac {if}{K_{z}}}\right)^{\frac {1}{2}}z\right]+B\exp \left[-\left({\frac {if}{K_{z}}}\right)^{\frac {1}{2}}z\right]} ここで h E ≡ 2 K z / f {\displaystyle h_{E}\equiv {\sqrt {2K_{z}/f}}} と置くと、 i = ( 1 + i ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {i}}=(1+i)/{\sqrt {2}}} であるから V = A exp [ ( 1 + i ) z h E ] + B exp [ − ( 1 + i ) z h E ] {\displaystyle V=A\exp \left[(1+i){\frac {z}{h_{E}}}\right]+B\exp \left[-(1+i){\frac {z}{h_{E}}}\right]} このhE は、エクマン境界層の厚さの目安のひとつになっている。
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