ウォールマンのコンパクト化の構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 07:32 UTC 版)
「コンパクト化」の記事における「ウォールマンのコンパクト化の構成」の解説
T1空間 X {\displaystyle X} に対し F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X {\displaystyle X} 上の空でない閉部分集合全体とし、包含関係で自然に順序を入れる。このとき ω X {\displaystyle \omega X} を F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 上の超フィルター全体とする。今 X {\displaystyle X} の閉部分集合 C {\displaystyle C} に対し、 ω C ⊆ ω X {\displaystyle \omega C\subseteq \omega X} を ω C := { μ ∈ ω X : C ∈ μ } {\displaystyle \omega C:=\{\mu \in \omega X\colon C\in \mu \}} と定義し、 ω F := { ω C : C ∈ F } {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}:=\{\omega C\colon C\in {\mathcal {F}}\}} とする。このとき ω C ∪ ω D = ω ( C ∪ D ) ( C , D ∈ F ) {\displaystyle \omega C\cup \omega D=\omega (C\cup D)(C,D\in {\mathcal {F}})} から ω F {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}} が開基の公理を満たすので、そこから ω X {\displaystyle \omega X} に自然に位相が定まる。 相異なる μ , ν ∈ ω X {\displaystyle \mu ,\nu \in \omega X} について、超フィルターの一般論から、ある C ∈ μ , D ∈ ν {\displaystyle C\in \mu ,D\in \nu } が存在して C ∩ D = ∅ {\displaystyle C\cap D=\varnothing } 。このとき U := ω X ∖ ( ω D ) {\displaystyle U:=\omega X\setminus (\omega D)} とすると μ ∈ U {\displaystyle \mu \in U} かつ ν ∉ U {\displaystyle \nu \notin U} となって、 ω X {\displaystyle \omega X} はT1空間。 C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} を ω X {\displaystyle \omega X} 上の有限交叉的な閉集合族とする。このとき ω F {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}} が閉基であることから、 X {\displaystyle X} 上の有限交叉的な閉集合族 { C λ } λ ∈ Λ {\displaystyle \{C_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} で ⋂ C = ⋂ λ ∈ Λ ω C λ {\displaystyle \bigcap {\mathfrak {C}}=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }} となるものが存在（ ω C 0 ∩ ω C 1 ∩ ⋯ ∩ ω C n − 1 = ∅ ⇔ C 0 ∩ C 1 ∩ ⋯ ∩ C n − 1 = ∅ {\displaystyle \omega C_{0}\cap \omega C_{1}\cap \cdots \cap \omega C_{n-1}=\varnothing \Leftrightarrow C_{0}\cap C_{1}\cap \cdots \cap C_{n-1}=\varnothing } に注意）。ここで μ ∈ ω X {\displaystyle \mu \in \omega X} を { C λ : λ ∈ Λ } {\displaystyle \{C_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}} を含む超フィルターとすると ω C λ {\displaystyle \omega C_{\lambda }} の定義から μ ∈ ⋂ λ ∈ Λ ω C λ {\displaystyle \mu \in \bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }} 。よって ω X {\displaystyle \omega X} はコンパクト。 写像 i : X → ω X {\displaystyle i:X\to \omega X} を i ( x ) := { C ∈ F : x ∈ C } ( x ∈ X ) {\displaystyle i(x):=\{C\in {\mathcal {F}}\colon x\in C\}(x\in X)} と定義する。このとき { x } ∈ i ( x ) , { y } ∉ i ( x ) ( x ≠ y ) {\displaystyle \{x\}\in i(x),\{y\}\notin i(x)(x\neq y)} から i {\displaystyle i} は単射。 i ( x ) ∈ ω C ↔ x ∈ C ( x ∈ X , C ∈ F ) {\displaystyle i(x)\in \omega C\leftrightarrow x\in C(x\in X,C\in {\mathcal {F}})} から i ( C ) ¯ = ω C {\displaystyle {\overline {i(C)}}=\omega C} （特に i ( X ) ¯ = ω X {\displaystyle {\overline {i(X)}}=\omega X} ）及び i ( C ) ¯ ∩ i ( X ) = ω C ∩ i ( X ) = i ( C ) {\displaystyle {\overline {i(C)}}\cap i(X)=\omega C\cap i(X)=i(C)} がいえ i : X → i ( X ) {\displaystyle i:X\to i(X)} は同相。 以上から ( i , ω X ) {\displaystyle (i,\omega X)} はT1なコンパクト化である。 ( i , ω X ) {\displaystyle (i,\omega X)} をウォールマンのコンパクト化という。 X {\displaystyle X} がチコノフ空間のとき上記の F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を閉集合ではなくゼロ集合（実連続関数の一点の逆像となる集合）全体とするとストーン・チェックのコンパクト化になる。
※この「ウォールマンのコンパクト化の構成」の解説は、「コンパクト化」の解説の一部です。
「ウォールマンのコンパクト化の構成」を含む「コンパクト化」の記事については、「コンパクト化」の概要を参照ください。
- ウォールマンのコンパクト化の構成のページへのリンク
