ウェアリングの問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 02:29 UTC 版)
「シュニレルマン密度」の記事における「ウェアリングの問題」の解説
詳細は「ウェアリングの問題」を参照 k {\displaystyle k} と N {\displaystyle N} を自然数とする。 G k = { i k } i = 1 ∞ {\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }} とする。 r N k ( n ) {\displaystyle r_{N}^{k}(n)} を x i {\displaystyle x_{i}} の方程式 x 1 k + x 2 k + ⋯ + x N k = n {\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n\,} の非負の整数解の数とし、 R N k ( n ) {\displaystyle R_{N}^{k}(n)} を x i {\displaystyle x_{i}} の不等式 0 ≤ x 1 k + x 2 k + ⋯ + x N k ≤ n , {\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,} の非負の整数解の数とする。すると、 R N k ( n ) = ∑ i = 0 n r N k ( i ) {\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)} となり、次の 2つを得る。 r N k ( n ) > 0 ↔ n ∈ N G k , {\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},} R N k ( n ) ≥ ( n N ) N k . {\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.} 0 ≤ x 1 k + x 2 k + ⋯ + x N k ≤ n {\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n} により定義される N {\displaystyle N} -次元の領域の体積は、大きさが n 1 / k {\displaystyle n^{1/k}} の超立方体の体積を最大として有界である。従って、 R N k ( n ) = ∑ i = 0 n r N k ( i ) = n N / k {\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)=n^{N/k}} である。ここで難しい部分は、この限界値が平均でもうまく機能することです。つまり、 補題. (リンニクの定理) 全ての k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } に対して、 k {\displaystyle k} にのみ依存する N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } と定数 c = c ( k ) {\displaystyle c=c(k)} が存在して、全ての n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } と全ての 0 ≤ m ≤ n . {\displaystyle 0\leq m\leq n.} について r N k ( m ) < c n N k − 1 {\displaystyle r_{N}^{k}(m)
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