アーリヤバタ記数法

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アーリヤバタ記数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/10/17 05:19 UTC 版)

この表は、サンスクリット語のデーヴァナーガリー文字を用いた音節記数法を示したもので、各文字に対応するローマ字転写と数値が一覧化されている。母音、ヴァルガ子音（調音位置に基づく5群）、およびアヴァルガ子音（非ヴァルガ子音）に分類され、アーリヤバタ記数法における音節と数値の対応関係を体系的に理解するための基礎資料となる。

アーリヤバタ記数法（アーリヤバタきすうほう、英: Āryabhaṭa numeration、梵: आर्यभटाङ्कपद्धतिः）は、サンスクリットの音素に基づくアルファ音節型の数値表記体系である。6世紀初頭、インドの数学者アーリヤバタによって著作『アーリヤバティーヤ（Aryabhatiya）』の第1章「ギーティカ・パダム（Gītikā Padam）」において導入された。この体系では、サンスクリット音韻論における子音＋母音の音節それぞれに数値が割り当てられており、例えば「ka」は 1、「hau」は10¹⁸を表す。

歴史

この記数法の基本原理は、『アーリヤバティーヤ』第1章の第2詩節に記されている。

「ヴァルガ（varga：群・類）」に属する文字（ka〜ma）は、ヴァルガ位（1位、100位、10000位など）に配置され、「アヴァルガ（avarga：非群）」に属する文字（ya、ra、laなど）は、アヴァルガ位（10位、1000位、100000位など）に配置される。

ヴァルガ文字（ka〜ma）は1から25までの値を持ち、アヴァルガ文字（ya〜ha）は30、40、50…最大100までの値を持つ。ヴァルガ・アヴァルガ文字ともに、第9母音（位）を超える場合は新たな記号を用いることができる。

母音に対応する位は以下の通りである：

• a = 1
• i = 100
• u = 10000
• ṛ = 1000000
• 以下同様に位が増加する

アーリヤバタはこの記数法を用いて、数学および天文学の計算において小さな数から非常に大きな数までを表現した。

この体系は分数や帯分数の表現にも対応している。例えば：

• nga = 1⁄5
• nja = 1⁄10
• jhardam（jha = 9、その半分）= 4+1⁄2

使用例

例：299,792,458（光速の値）
位	数値	音節	表記	分解
100 101	58	जल	ja-la	ja + la
102 103	24	घिनि	ghi-ni	ghi + ni
104 105	79	झुशु	jhu-śu	jhu + śu
106 107	99	झृसृ	jhṛ-sṛ	jhṛ + sṛ
108	2	खॢ	khḷ	kh + ḷ

インド伝統の桁順は現代の十進法とは逆であり、アーリヤバタは一の位から始め、次に十、百、千、万、十万（洛叉）と続けて記述した（インドの命数法）。

別の例として、ṅiśibuṇḷṣkhṛ（ङिशिबुणॢष्खृ）＝1582237500が挙げられる。この場合、10⁶（ṛ）と10⁸（ḷ）の順序が入れ替わっており、10⁶の部分は合字になっている。

三角関数表の詩例（『アーリヤバティーヤ』より）:

 makhi bhakhi phakhi dhakhi ṇakhi ñakhi ṅakhi hasjha skaki kiṣga śghakhi kighva ghlaki kigra hakya dhaki kica sga jhaśa ṅva kla pta pha cha kala-ardha-jyāḥ

この詩は、サイン表（半弦表）を記憶するための韻文であり、各音節が数値を表す。

数表

アーリヤバタ数の値を示す際には、短母音（अ、इ、उ、ऋ、ऌ、ए、ओ）が一貫して使用される。ただし、アーリヤバタ記数法では長母音と短母音の区別は行われていない。この表は「カ（क）」に由来する数値（1×10^x）の全系列のみを示しているが、これらの値は数値音節全体にわたって有効である。

33 × 9 = 297 のサンスクリット音節による数値表現

9つの母音または音節母音

-a

-i

-u

-ṛ

-ḷ

-e

-ai

-o

-au

अ

इ

उ

ऋ

ऌ

ए

ऐ

ओ

औ

×

10 0

10 2

10 4

10 6

10 8

1010

1012

1014

1016

軟口蓋破裂音（5つ）

k -

क

1

क / का ka

कि / की ki

कु / कू ku

कृ / कॄ kṛ

कॢ / कॣ kḷ

के / कॆ ke

कै kai

को / कॊ ko

कौ kau

kh -

ख

2

ख kha

खि khi

खु khu

खृ khṛ

खॢ khḷ

खे khe

खै khai

खो kho

खौ khau

g -

ग

3

ग ga

गि gi

गु gu

गृ gṛ

गॢ gḷ

गे ge

गै gai

गो go

गौ gau

gh -

घ

4

घ gha

घि ghi

घु ghu

घृ ghṛ

घॢ ghḷ

घे ghe

घै ghai

घो gho

घौ ghau

ṅ -

ङ

5

ङ ṅa

ङि ṅi

ङु ṅu

ङृ ṅṛ

ङॢ ṅḷ

ङे ṅe

ङै ṅai

ङो ṅo

ङौ ṅau

硬口蓋破裂音（5つ）

c -

च

6

च ca

चि ci

चु cu

चृ cṛ

चॢ cḷ

चे ce

चै cai

चो co

चौ cau

ch -

छ

7

छ cha

छि chi

छु chu

छृ chṛ

छॢ chḷ

छे che

छै chai

छो cho

छौ chau

j -

ज

8

ज ja

जि ji

जु ju

जृ jṛ

जॢ jḷ

जे je

जै jai

जो jo

जौ jau

jh -

झ

9

झ jha

झि jhi

झु jhu

झृ jhṛ

झॢ jhḷ

झे jhe

झै jhai

झो jho

झौ jhau

ñ -

ञ

10

ञ ña

ञि ñi

ञु ñu

ञृ ñṛ

ञॢ ñḷ

ञे ñe

ञै ñai

ञो ño

ञौ ñau

反舌破裂音（5つ）

ṭ -

ट

11

ट ṭa

टि ṭi

टु ṭu

टृ ṭṛ

टॢ ṭḷ

टे ṭe

टै ṭai

टो ṭo

टौ ṭau

ṭh -

ठ

12

ठ ṭha

ठि ṭhi

ठु ṭhu

ठृ ṭhṛ

ठॢ ṭhḷ

ठे ṭhe

ठै ṭhai

ठो ṭho

ठौ ṭhau

ḍ -

ड

13

ड ḍa

डि ḍi

डु ḍu

डृ ḍṛ

डॢ ḍḷ

डे ḍe

डै ḍai

डो ḍo

डौ ḍau

ḍh -

ढ

14

ढ ḍha

ढि ḍhi

ढु ḍhu

ढृ ḍhṛ

ढॢ ḍhḷ

ढे ḍhe

ढै ḍhai

ढो ḍho

ढौ ḍhau

ṇ -

ण

15

ण ṇa

णि ṇi

णु ṇu

णृ ṇṛ

णॢ ṇḷ

णे ṇe

णै ṇai

णो ṇo

णौ ṇau

歯茎破裂音（5つ）

t -

त

16

त ta

ति ti

तु tu

तृ tṛ

तॢ tḷ

ते te

तै tai

तो to

तौ tau

th -

थ

17

थ tha

थि thi

थु thu

थृ thṛ

थॢ thḷ

थे the

थै thai

थो tho

थौ thau

d -

द

18

द da

दि di

दु du

दृ dṛ

दॢ dḷ

दे de

दै dai

दो do

दौ dau

dh -

ध

19

ध dha

धि dhi

धु dhu

धृ dhṛ

धॢ dhḷ

धे dhe

धै dhai

धो dho

धौ dhau

n -

न

20

न na

नि ni

नु nu

नृ nṛ

नॢ nḷ

ने ne

नै nai

नो no

नौ nau

両唇破裂音（5つ）

p -

प

21

प pa

पि pi

पु pu

पृ pṛ

पॢ pḷ

पे pe

पै pai

पो po

पौ pau

ph -

फ

22

फ pha

फि phi

फु phu

फृ phṛ

फॢ phḷ

फे phe

फै phai

फो pho

फौ phau

b -

ब

23

ब ba

बि bi

बु bu

बृ bṛ

बॢ bḷ

बे be

बै bai

बो bo

बौ bau

bh -

भ

24

भ bha

भि bhi

भु bhu

भृ bhṛ

भॢ bhḷ

भे bhe

भै bhai

भो bho

भौ bhau

m -

म

25

म ma

मि mi

मु mu

मृ mṛ

मॢ mḷ

मे me

मै mai

मो mo

मौ mau

接近音またはふるえ音（4つ）

y -

य

30

य ya

यि yi

यु yu

यृ yṛ

यॢ yḷ

ये ye

यै yai

यो yo

यौ yau

r -

र

40

र ra

रि ri

रु ru

रृ rṛ

रॢ rḷ

रे re

रै rai

रो ro

रौ rau

l -

ल

50

ल la

लि li

लु lu

लृ lṛ

लॢ lḷ

ले le

लै lai

लो lo

लौ lau

v -

व

60

व va

वि vi

वु vu

वृ vṛ

वॢ vḷ

वे ve

वै vai

वो vo

वौ vau

歯茎摩擦音（3つ）

ś -

श

70

श śa

शि śi

शु śu

शृ śṛ

शॢ śḷ

शे śe

शै śai

शो śo

शौ śau

ṣ -

ष

80

ष ṣa

षि ṣi

षु ṣu

षृ ṣṛ

षॢ ṣḷ

षे ṣe

षै ṣai

षो ṣo

षौ ṣau

s -

स

90

स sa

सि si

सु su

सृ sṛ

सॢ sḷ

से se

सै sai

सो so

सौ sau

声門摩擦音（1つ）

h -

ह

100

ह ha

हि hi

हु hu

हृ hṛ

हॢ hḷ

हे he

है hai

हो ho

हौ hau

関連項目

• IAST（ラテン文字によるサンスクリット翻字規則）
• アクシャラパッリ（文字によるページ番号）
• ブータサンキャー体系（象徴語による数値表現）
• カタパヤーディ体系（音節に数値を割り当てる記数法）

参考文献

• Kurt Elfering: Die Mathematik des Aryabhata I. Text, Übersetzung aus dem Sanskrit und Kommentar. Wilhelm Fink Verlag, München, 1975, ISBN 3-7705-1326-6
• Georges Ifrah: The Universal History of Numbers. From Prehistory to the Invention of the Computer. John Wiley & Sons, New York, 2000, ISBN 0-471-39340-1.
• B. L. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Birkhäuser-Verlag, Basel Stuttgart, 1966, ISBN 3-7643-0399-9
• Fleet, J. F. (January 1911). “Aryabhata's System of Expressing Numbers”. Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland 43: 109–126. doi:10.1017/S0035869X00040995. ISSN 0035-869X. JSTOR 25189823. 
• Fleet, J. F. (1911). “Aryabhata's System of Expressing Numbers”. The Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland (Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland) 43: 109–126. doi:10.1017/S0035869X00040995. JSTOR 25189823.