さらに強い結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/12 04:36 UTC 版)
「ゲルシュゴリンの定理」の記事における「さらに強い結果」の解説
ゲルシュゴリン円板の一つが、ほかのどの円板と交わらないならば、その円板はちょうど一つの固有値を含む。しかし、円板が他の円板と交わるならば、その円板は一つも固有値を含まないことが起こり得る（例えば A = ( 0 1 4 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\end{pmatrix}}} や A = ( 1 − 2 1 − 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}}} など）。一般の場合に、定理の主張を以下のように強めることができる。 定理 k 枚のゲルシュゴリン円板の合併が残りの n − k 枚の円板と交わらないならば、前者の円板の合併はちょうど k 個の A の固有値を含み、後者の円板には n − k 個の固有値を含む。 証明. A の対角成分と同じ成分を持つ対角行列 D に対し、 B ( t ) = ( 1 − t ) D + t A , ( t ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle B(t)=(1-t)D+tA,\quad (t\in [0,1])} と置く。ここで B(t) の固有値が連続パラメタ t に関して連続であるという事実を認めることにして、円板の合併に属する固有値の何れかが他の円板へ移るならば、適当な t に対してその固有値はどの円板にも属さない状態が起きることを示す（そうすればゲルシュゴリンの定理に矛盾する）。 定理の主張は D = B(0) に対しては成り立つ。B(t) の対角成分は A のそれと同じであるから、ゲルシュゴリン円板の中心も共通だが、半径は A のときの t-倍される。従って B(t) に対して対応する k 枚の円板の合併は t の値に依らず残りの n − k 枚の円板と交わらない。各円板は閉だから、A の場合の両者の間の距離を d > 0 とすると、B(t) の場合のそれは t に関して単調減少だから、常に d よりも大きい。B(t) の固有値は t に関して連続だから、B(t) の k 枚の円板の合併に属する任意の固有値 λ(t) に対して、それと残りの n − k 枚の円板との距離もまた t に関して連続になる。明らかに d(0) ≥ d かつ、λ(1) は n − k 枚の円板の上にあると仮定したから d(1) = 0 である。故に 0 < d(t0) < d となる 0 < t0 < 1 が存在するが、これは λ(t0) がゲルシュゴリン円板の外側にあることを意味し、これは不可能である。ゆえに λ(1) は k 枚の円板の合併に属し、定理は証明された。
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