錐体 錐体の概要

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錐体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/25 06:24 UTC 版)

定義

3 次元ユークリッド空間内の平面 P 上に単純閉曲線 C が与えられ、平面 P 上にない点 O をとるとき、点 O と曲線 C 上の各点とを結ぶ直線の軌跡を錐体面と呼び、錐体面と平面 P が空間から切り取る有界な図形を錐体という。

このとき、点 O をこの錐体の頂点、頂点 O と平面 P との距離を錐体の高さという。また、曲線 C が囲む平面 P の領域を、この錐体の底面といい、底面以外の面すなわち、頂点 O と閉曲線 C 上の各点とを結ぶ線分の軌跡のことを側面という。

錐体のうち、頂点 O から底面に下ろした垂線の足が、底面の重心に一致するものを直錐（直錐体）と呼ぶことがある。直錐体の中でも、底面が円のものを円錐、底面が正多角形のものを正多角錐と呼ぶ。一方、直錐体に対して、それ以外の錐体を斜錐（斜錐体）と呼んで区別することがある。

性質

• 錐体は中身の詰まった (solid) 閉じた空間図形で、その表面は一つの閉曲面である。
• 錐体の高さを h、底面積（底面の面積）を B とするとき、錐体の体積 V は V = Bh/3 で与えられる。これは、同じ底面と高さを持つ柱体の体積の 1/3 の値である。

標準化

錐体の表面は、頂点 O を原点に写す適当な直交変換によって、次のように媒介変数表示することができる：

${\begin{cases}X=F_{x}(\theta )t,\\Y=F_{y}(\theta )t,\\Z=ht.\end{cases}}$

特に t = 1 のときを考えると底面の閉曲面を表す式が表れる：

$C\colon {\begin{cases}X=F_{x}(\theta ),\\Y=F_{y}(\theta ),\\Z=h.\end{cases}}$

錐体の名称

底面の形状によっては、錐体にさらに特別の名称（分類名）が与えられることがある。以下に、錐体の名称を "錐体名（底面の形状）" の形式で幾つか例示する：

• 角錐（多角形）
  • 三角錐（三角形）
    • 正三角錐（正三角形）- さらに特殊な形状として正四面体
  • 四角錐（四角形）
    • 正四角錐・ピラミッド型（正方形）
  • 八角錐（八角形）
    • 正八角錐（正八角形） - 八角堂は、上面が正八角錐。
• 円錐（円）