符号の規約 符号の規約の概要

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符号の規約

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/22 21:42 UTC 版)

また「符号の規約」の用語は、虚数単位 i や 2π の因子を含む、より広い意味で用いられることもある。

相対論

計量符号

相対性理論において、計量符号は (+,−,−,−) か (−,+,+,+) のいずれかである。^{[注釈 1]}それぞれ diag(+1,−1,−1,−1), diag(−1,+1,+1,+1) の計量テンソルに対応する。より高次元の相対性理論においても同様である: (+,−,−,−,…) と (−,+,+,+,…).

この符号の規約には幾つかの呼び名がある:

• (+,−,−,−)
  • 時間的規約
  • 粒子物理学の規約^{[注釈 2]}
  • 西海岸規約
  • ほとんど負
  • ランダウ・リフシッツの規約
• (−,+,+,+)
  • 空間的規約
  • 相対論の規約^{[注釈 2]}
  • 東海岸規約
  • ほとんど正
  • パウリ規約^{[注釈 3]}

幾つかの著名な院生向けテキストにおける使用例:

• (+,−,−,−)
  • ランダウ・リフシッツの『理論物理学教程』
  • Louis Witten 監の Gravitation: An Introduction to Current Research
  • Ray D'Inverno の Introducing Einstein's Relativity
• (−,+,+,+)
  • 『重力理論』GRAVITATION
  • Sean Carroll の Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity
  • Robert Wald の General Relativity^{[注釈 4]}

計量の符号といくつかの関係式

関係式	(+,−,...,−)	(−,+,...,+)
4元運動量の成分表示	${\displaystyle p^{\mu }=(E,{\boldsymbol {p}})}$
	${\displaystyle p_{\mu }=(E,-{\boldsymbol {p}})}$	${\displaystyle p_{\mu }=(-E,{\boldsymbol {p}})}$
質量殻条件	${\displaystyle m^{2}=E^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}}$
	${\displaystyle m^{2}=p^{\mu }p_{\mu }}$	${\displaystyle m^{2}=-p^{\mu }p_{\mu }}$
ローレンツ力	${\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)}$
マクスウェル方程式	${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=J^{\mu }}$	${\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=-J^{\mu }}$
正準交換関係	${\displaystyle [x^{\mu },p_{\nu }]=-i\delta _{\nu }^{\mu }}$	${\displaystyle [x^{\mu },p_{\nu }]=i\delta _{\nu }^{\mu }}$
運動量演算子の座標表示	${\displaystyle (E,{\boldsymbol {p}})=(i{\tfrac {\partial }{\partial t}},-i\nabla )}$
	${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$	${\displaystyle p_{\mu }=-i\partial _{\mu }}$

曲率

リッチテンソル R_μν はリーマンテンソル R^μ_ναβ の縮約として定義されるが、その縮約には次の2通りの取り方がある:

• R_μν = R^α_μαν
• R_μν = R^α_μνα

リーマンテンソルの対称性により、この2つの定義は符号だけ異なる。またリーマンテンソルの定義についても符号だけを変える2通りの定義があり、これら2通りずつの定義を協働して用いることで、異なる規約についても同一の物理を与える。

その他の符号の規約

• 参照系における時間と固有時の符号選択: 未来を +、過去を − とする取り方が一般的
• ディラック方程式の ± の選択
• ゲージ理論や古典電磁気学における電荷、場の強度テンソル F_μν の符号
• 正周波数波の時間依存性:
  • e^−iωt（主に物理学で）
  • e^+iωt（主に工学で）
• フーリエ変換における積分核の指数関数の肩の符号: e^−ikx か e^+ikx か
• 誘電率の虚部の符号（時間依存性の符号選択により決定される）
• 光学における光学面の距離と曲率半径の符号
• 熱力学の第1法則 における仕事の符号
• テンソル密度を扱うときの計量テンソルの行列式の重みの符号

書籍や論文において使用される符号の規約は、冒頭で明示することが慣例となっている。