多重線型代数 多項式環

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多重線型代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/27 04:20 UTC 版)

多項式環

n 次の自由 K –加群（K が体のときには n 次元のベクトル空間）Kⁿ の対称代数は K を係数とする n 変数の多項式環 K [X ₁,..., X_n ] と見なせる。

行列式

Kⁿ の n 次外冪 ∧ⁿKⁿ は一次元空間であるが、これは向きも込めた Kⁿ における体積要素の空間と見なせる。Kⁿ 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧ⁿKⁿ 上に引き起こされる線型写像 ∧ⁿ (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。

幾何学への応用

位相空間上のベクトル束に対しテンソル代数、対称代数や外積代数などの操作を考えることで次数付き線型環の束が得られる。つまり、空間 X 上のベクトル束 E に対し、各点 x におけるファイバーのベクトル空間ごとに TE_x , SE_x , ∧E_x などを考えることで新たな束が得られる（これらの操作はベクトル束に期待される変換の連続性を保っている）。特に多様体 V の余接束 T ^*V に対し、この操作を施すことで共変の p 階テンソルの束 ∧^p T^*V やそれら切断のなす外積代数 Ω(V )、接束 TV に対しこの操作を施すことで反変の p 階テンソルの束 ∧^p TV などが得られる。

物理学への応用

フォック空間

ボゾン場の第二量子化を表すフォック空間として可分ヒルベルト空間の対称代数が現れ、元のヒルベルト空間のベクトルによる掛け算は非有界作用素を表している。