一般線型群 一般線型群の概要

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一般線型群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/22 10:23 UTC 版)

定義

F を体とする。 F 線型空間 V 上 の一般線型群とは V 上の線型写像全体 End(V) のうち全単射 な写像全体が写像の合成に関してなす群のことをいい、GL(V) または Aut(V) と表す。

あるいは n 次元 F 線型空間 V の基底 B = (v₁, …, v_n) をひとつ選び固定して、数ベクトル空間 Fⁿ の元 (a₁, …, a_n) と線型空間 V の元 a₁v₁ + … + a_nv_n とを同一視することによって、 n 次正方行列全体 M_n(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い。この場合には GL_n(F) または GL(n, F) と表す。行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。

$\operatorname {GL} (V)=\{\,f\in \operatorname {End} (V)\mid \exists g\in \operatorname {End} (V)\ f\circ g=\operatorname {id} _{V}=g\circ f\,\}$

${\begin{aligned}\operatorname {GL} _{n}(F)&=\{\,A\in \operatorname {M} _{n}(F)\mid \exists B\in \operatorname {M} _{n}(F)\ AB=I_{n}=BA\,\}\\&=\{\,A\in \operatorname {M} _{n}(F)\mid \det A\neq 0\,\}\end{aligned}}$

どちらの定義も同じ対象を定めていると思ってよい。実際、n 次元 F 線型空間 V 上の一般線型群 GL(V) と n 次正則行列全体 GL_n(F) との間には次で定まる同型写像がある。

$\operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} _{n}(F),\ f\mapsto A=(a_{ij})$

$f(v_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}$

例

GL₂(C)

複素数体 C 上の2次正則行列全体 GL₂(C) は次のように表せる。

$\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )=\left\{\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {M} _{2}(\mathbb {C} )\mid ad-bc\neq 0\,\right\}$

GL₂(F₂)

二元体 F₂ = Z/2Z 上の 2 次正則行列全体 GL₂(F₂) は 3 次対称群と同型で次の 6 つの行列からなる。

$\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {F} _{2})=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\right\}$