関連する定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/15 07:12 UTC 版)
ケーベ(Koebe)は、リーマン面が複素球面に同相ならば（おなじことであるが、ジョルダン曲線で分割されるならば）、複素球面の開部分集合に共形同値であるという一般化された一意化定理(general uniformization theorem)を証明した。 3次元の場合には、8つの幾何学が存在するというサーストンの 8つの幾何構造となる。すべての 3次元多様体が幾何構造を持つわけではないが、サーストンの幾何化予想はグレゴリー・ペレルマン(Grigori Perelman)により、すべての 3次元多様体は幾何化可能なピースへ分解することができると言っている。 リップマン・バース（英語版）(Lipman Bers)は、同じ準フックス群（英語版）(quasi-Fuchsian group)を持つ 2つの種数 > 1 のコンパクトリーマン面は、同時に規格化できるという同時一意化定理（英語版）(simultaneous uniformization theorem)を示した。 可測リーマン写像定理（英語版）(measurable Riemann mapping theorem)は、より一般的に、一意化定理で複素球面の開部分集合は任意の与えられた有界ベルトラミ係数をもつ準共形写像（英語版）(quasiconformal map)を選ぶことができるという定理である。
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関連する定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 15:16 UTC 版)
ペアノの定理は、存在性に関する他の定理（ピカール・リンデレフの定理など）と比較される。ピカール・リンデレフの定理はペアノの定理と比べてより多くの仮定を必要とし、結果としてより多くの帰結を与える。すなわち、ペアノの定理においては連続性のみが必要とされていたが、ピカール・リンデレフの定理ではリプシッツ連続性をも必要とする一方で、その結果としては解の存在のみならず一意性までも保証される。例として、領域 [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} 上の常微分方程式 y ′ = | y | 1 2 {\displaystyle y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}} を考える。ペアノの定理に従えば、この方程式は解を持つことが分かる。しかし、この方程式の右辺は 0 を含むどのような近傍においてもリプシッツ連続ではないため、ピカール・リンデレフの定理は適用されず、したがってその解の一意性は保証されない。実際、初期値 y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} を与えたときこの常微分方程式は二種類の解 y ( x ) = 0 {\displaystyle y(x)=0} および y ( x ) = x 2 / 4 {\displaystyle y(x)=x^{2}/4} を持つ。任意の C に対し、 y = 0 {\displaystyle y=0} と y = ( x − C ) 2 / 4 {\displaystyle y=(x-C)^{2}/4} との間の解の変化が起こりうる。 連続性よりも弱い条件のもとでの、ペアノの存在定理の一般化として、カラテオドリの存在定理が知られている。
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関連する定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/04 15:34 UTC 版)
ダンフォード（英語版）–ペティス（英語版）の定理 確率変数 X n ⊂ L 1 ( μ ) {\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )} のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相において相対コンパクト（英語版）であることである。 ド・ラ・バレ・プーサン（英語版）の定理 族 { X α } α ∈ A {\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }} が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 G ( t ) {\displaystyle G(t)} で lim t → ∞ G ( t ) t = ∞ {\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty } および sup α E ( G ( | X α | ) ) < ∞ {\displaystyle \sup _{\alpha }E(G(|X_{\alpha }|))<\infty } を満たすようなものが存在することである。
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関連する定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 15:11 UTC 版)
「ブラーマグプタの二平方恒等式」の記事における「関連する定理」の解説
同様の恒等式にオイラーの四平方恒等式 (Euler's four-square identity) がある。これは、四つの平方数に関する恒等式であり、四元数との関連がある。さらに、デゲンの八平方恒等式 (Degen's eight-square identity) という恒等式もある。これはボット周期性 (en:Bott periodicity theorem) を持つ八元数から引き出される。
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関連する定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/07 09:56 UTC 版)
単葉関数と関連する重要な定理がいくつか知られているが、ここでは次の一例のみを紹介する(この定理はリーマンの写像定理を証明する際に必要となる)。
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