数学の哲学
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数学の哲学（すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。
- ^ 例えば、Edward Maziarsが1969年に記した書評（Maziars, Edward A. (1969). “Problems in the Philosophy of Mathematics (Book Review)”. Philosophy of Science 36 (3): 325.）において、「哲学的数学（これは主として数学者が行う仕事である）と数理哲学（これは通常哲学者の専門分野である）とを区別」しようと提案するとき、彼は、「数理哲学」を「数学の哲学」の同義語として使っている。
- ^ a b 単位がいくつあるかということ。
- ^ Kleene, Stephen (1971). Introduction to Metamathematics. Amsterdam, Netherlands: North-Holland Publishing Company. p. 5
数学の哲学
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もしスーパータスクが可能なら、数論の未知の命題（ゴールドバッハ予想であれ決定不能命題でさえ）の真偽性を、有限の時間で、自然数の集合上の力まかせ探索によって決定することができる。しかしながらこれはチャーチ＝チューリングのテーゼに矛盾することになる。
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数学の哲学
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「ソーンダース・マックレーン」の記事における「数学の哲学」の解説
マックレーンは次の機能的形式主義（functional formalism）と呼ばれる数学の哲学の立場を提唱した。 .mw-parser-output .templatequote{overflow:hidden;margin:1em 0;padding:0 40px}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite{line-height:1.5em;text-align:left;padding-left:1.6em;margin-top:0} 数学とは人間の諸活動や、科学の問題から抽出されたアイデアを体系化して得られた、形式の配列であるということである。すなわち、数学は形式的な規則、形式的な公理系、注意深く証明された定理、およびこれらの形式の入り組んだ関係からなるネットワークをなしているのである。 —マックレーン 1992 p.595
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数学の哲学
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パトナムは数学的実在論を擁護するいわゆるクワイン-パトナムの不可欠性テーゼにおいて、数学の哲学に大きな貢献を果たした。このテーゼはステファン・ヤブロによって、数や集合といった抽象的な数学的実体が実在しているとする最も野心的な論証の一つとして評価されている。論証は以下の仕方で行われている。 (a) 最良の科学理論にとって不可欠なあらゆる(all)実体に対して、そしてそうした実体のみ(only)に存在論的関与をすべきである（一般に"all and only"として言及される)。 (b) 数学的実体は最良の科学理論にとって不可欠である。 (c) 従って、数学的実体に対して存在論的関与をすべきである。 この三段論法の大前提が正しいか否かが最も論争の的になっている。パトナムもクワインも非科学的実体を排除してよいということを正当化するために哲学的自然主義に頼っており、従って"all and only"のうちの"only"という部分を証明しようとする。科学理論で公準として立てられるあらゆる実体（例えば数）の実在が認められるべきだという主張は、確証の全体論（デュエム-クワイン・テーゼを参照）によって正しいとされる。理論は部分ごとにではなく全体として確証されるものだから、きちんと確証された理論において言及されている実体を斥けることは正しくないのである。従って、集合や非ユークリッド幾何学が実在しないとしつつクォークその他の検知できない物理学的実体の実在を認めようとする唯名論的見解は難しい立場に置かれることになる。 パトナムは数学が、物理学その他の経験科学と同様に、厳密に論理的な証明と準経験的方法の両者を用いているという立場を採っている。例えばフェルマーの最終定理では3以上の整数nについて x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} であるような正の整数値(x, y, z)の組み合わせはないということが言明されている。このことは1995年にアンドリュー・ワイルズによって3以上のすべての整数nについて証明される以前から、さまざまなnの値について証明されてきた。これらの証明が当該分野のさらなる研究を促したのであり、この定理について準経験的なコンセンサスを形成したのである。こうした知識は厳密に証明された定理に比べると多くの推測を含んでいるが、これを用いることによって他の数学的概念も発展している。
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