他の定義とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

他の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)

「極限 (圏論)」の記事における「他の定義」の解説

極限と余極限は図式を使わずに、対象と射の集まりが与えられれば定義することができる。この場合の定義も上と同じである(上の定義ではJの射の合成を全く使わなかったことに注意)。しかしながら、この定義は何も新しい情報をもたらさない。対象と射の集まりは(大きくなりうる)有向グラフGを定める。そして、JをGの生成する自由圏とすると、Gの像を包含する普遍的な図式F : J → Cが存在する。この図式の極限(余極限)はもとの対象と射の集まりの極限(余極限)と同じになる。弱極限と弱余極限は極限と余極限の定義から仲介射の一意性を除いたものをいう。

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他の定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 19:24 UTC 版)

「ゼルニケ多項式」の記事における「他の定義」の解説

動径多項式は、二項係数を用いて、 R n m ( ρ ) = ∑ k = 0 n − m 2 ( − 1 ) k ( n − k k ) ( n − 2 k n − m 2 − k ) ρ n − 2 k {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}} . と書き表すことができ、これより多項式の係数はすべて整数であることが示される。ガウスの超幾何関数を用いて表現することもできる。この表現は、漸化式や微分方程式の導出の他、本多項式がヤコビの多項式の一部であることを示すのに有用である。 R n m ( ρ ) = ( n n + m 2 ) ρ n 2 F 1 ( − n + m 2 , − n − m 2 ; − n ; ρ − 2 ) = ( − 1 ) n − m 2 ( n + m 2 m ) ρ m 2 F 1 ( 1 + n + m 2 , − n − m 2 ; 1 + m ; ρ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}} 動径多項式 R n m ( ρ ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )} に含まれる項 ρ n − 2 k {\displaystyle \rho ^{n-2k}} は、バーンスタイン基底関数を用いて展開できる。 n が偶数の場合は b s , n / 2 ( ρ 2 ) {\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})} 、奇数の場合は b s , ( n − 1 ) / 2 ( ρ 2 ) {\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})} と ρ {\displaystyle \rho } の積で展開される。ここで、 s は ⌊ n / 2 ⌋ − k ≤ s ≤ ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor } の範囲をとる。これより、動径多項式は有限次のバーンスタイン関数として表される。 R n m ( ρ ) = 1 ( ⌊ n / 2 ⌋ ⌊ m / 2 ⌋ ) ρ n mod 2 ∑ s = ⌊ m / 2 ⌋ ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) ⌊ n / 2 ⌋ − s ( s ⌊ m / 2 ⌋ ) ( ( n + m ) / 2 s + ⌈ m / 2 ⌉ ) b s , ⌊ n / 2 ⌋ ( ρ 2 ) . {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}