順序集合 順序構造と位相構造

ウィキペディア

順序集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/15 07:39 UTC 版)

順序構造と位相構造

全順序集合の位相

順序位相

全順序集合 A に対し、無限半開区間

$(-\infty ,b)=\{x\in A\mid x<b\}$

$(a,\infty )=\{x\in A\mid a<x\}$

全体の集合を準開基とする位相を順序位相 (order topology) という。例えば、実数全体の集合 $\mathbb {R}$ を通常の大小関係 ≤ による全順序集合と見ると、その順序位相は通常の距離により定められる位相と同等になる。

全順序集合 A の部分集合 B には、B を全順序集合と見なした時の順序位相と A の順序位相から誘導される位相との2つの位相が入る。しかしこの2つの位相は一致するとは限らない。（B の順序位相における開集合は誘導位相でも開集合であるが逆は一般には成り立たない）。

例えば A を実数全体の集合とし、A の部分集合

$B=\{x\mid 0<x<1\}\cup \{2\}$

を考えると、A からB に誘導される位相では一元集合 {2} は明らかに開集合であるが、B は順序集合としてみたときはそうではない。実際 B は（2を1に移す写像により）$C=\{x\mid 0<x\leq 1\}$ と順序同型だが、C の順序位相で {1} は開集合ではないので B の順序位相で{2} は開集合ではない。

上極限位相、下極限位相

単に「実数体上の位相」といった場合、前述の順序位相を指すがその他の位相を考えることも（主に反例として用いるために）できる。

実数体 $\mathbb {R}$ 上の上極限位相とは

$(a,b]=\{x\in \mathbb {R} ~:~a<x\leq b\}$

全体の集合を開基とする位相のことであり、同様に $\mathbb {R}$ 上の下極限位相とは逆向きの半開区間

$[a,b)=\{x\in \mathbb {R} ~:~a\leq x<b\}$

全体の集合を開基とする位相のことである。

実数体に下極限位相を入れた空間はしばし $\mathbb {R} _{\ell }$ と書かれ、ゾルゲンフライ直線と呼ばれる。またゾルゲンフライ直線2つの直積 $\mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }$ はゾルゲンフライ平面と呼ばれる。

overlapping interval topology

区間 [-1,1] 上の overlapping interval topology とは

$[-1,a)$ for $0<a$

$(b,1]$ for $b<0$

を準開基とする位相である。

半順序集合の位相

半順序空間

位相構造を持つ半順序集合P で以下の性質を満たすものを半順序空間という：

a < b を満たす任意のa, b ∈ P に対し、a の開近傍Uで上方集合であるものと b の開近傍V で下方集合であるものが存在することである。

（P の位相構造でこの性質を満たすものは1つとは限らないが、それらを全て半順序空間という。） なお、半順序空間と名前の似たposet topologyは別概念であるので注意が必要である。

定義より明らかに半順序空間は常にハウスドルフ性を満たす。

半順序空間では以下が成立する：

a_i → a, b_i → b かつ任意の i に対して a_i ≤ b_i ならば a ≤ b である

位相構造を持つ半順序集合P が半順序空間である必要十分条件は以下を満たすことである：

半順序集合P 上の位相構造として、{(a, b) ∈ P × P | a ≤ b } が直積位相に関する閉部分集合になる。

2つ半順序空間の間の順序を保つ連続写像のことをdimapという。

上方位相、下方位相

順序集合 P 上の以下の2つの位相は同一である事が簡単に示せる。以下のいずれか一方（したがって両方）の条件を満たす位相を上方位相という。

1. {x ∈ P | x ≤ a} for a ∈ P を全て閉集合とする最弱の位相
2. 任意のa ∈ P に対し、一点集合{a} の閉包が{x ∈ P | x ≤ a} と一致する最弱の位相

下方位相も同様にして定義できる。

アレクサンドロフ空間

位相空間 P がアレクサンドロフ空間であるとは、P 上の（有限または無限個の）任意の開集合の共通部分が必ず開集合になることである。

アレクサンドロフ空間は前順序集合と自然に1対1対応していることが知られている。 実際任意の前順序集合 P に対し、

U が P の開集合 ⇔ U が P の上方集合

により P に位相を入れたものはアレクサンドロフ空間になる。（この位相を P のアレクサンドロフ位相という。）

逆に任意のアレクサンドロフ空間 P に対し P 上の「specialization preorder」を前順序とすることで P を前順序集合と見なすことができる。

ここで位相空間 P のspecialization preorderとは

$x\leq y\iff {\overline {\{x\}}}\subset {\overline {\{y\}}}$

で定義される前順序のことである。上式で${\overline {\{x\}}}$は一元集合{x} の閉包である。（なお、P がT₀空間であればspecialization preorder は半順序であることが知られている。）

以上の対応関係により、集合P におけるアレクサンドロフ空間としての構造とP 上の前順序は1対1対応する。

specialization preorderはアレクサンドロフ空間でなくとも定義可能であるが、アレクサンドロフ空間でない位相空間上ではspecialization preorderに対して上方集合でない開集合も存在する。（なおこの場合でも開集合は常に上方集合である）。したがって前述したような、上方集合を開集合とする位相を考えても元の位相は復元できない。

実数体における例

実数体（に通常の順序をいれたもの）を前順序集合と見なすことで実数体にアレクサンドロフ位相を入れることができる。アレクサンドロフ位相における実数体上の開集合（すなわち上方集合）は以下のもののいずれかになる：

• $(a,\infty )$ for some a
• $[a,\infty )$ for some a
• 空集合$\emptyset$、全体集合$\mathbb {R}$

スコット位相

上で述べたようにアレクサンドロフ位相は $[a,\infty )$ のような「下に閉じた」集合すらも開集合と見なしてしまう。アレクサンドロフ位相からこのような不自然さを取り除いたのがスコット位相である。順序集合 P 上のスコット位相 (Scott topology) とは、以下の2条件を満たす P の部分集合 O 全体の集合を開集合族とする位相である：

1. O ⊂ P は上方集合である
2. P の有向部分集合 A で（A を自然に有向点族と見なしたときの）A の極限がO に入っていれば、A の点でO に含まれるものが存在する

後者の条件は内点概念の点列による特徴づけ（O の内点x に収束する点列はO と共通部分を持つ）に類似しており、この条件が「下に閉じた」集合を排除する。

よって実数体にスコット位相を入れた際、実数体上の開集合は以下のもののいずれかになる：

• $(a,\infty )$ for some a
• 空集合 $\emptyset$、全体集合 $\mathbb {R}$

スコット位相を入れた順序集合をスコット空間といい、スコット空間からスコット空間への連続写像をスコット連続 (Scott continuity) という。順序集合 P から順序集合Q への写像 f がスコット連続である必要十分条件は以下の性質が成り立つことであることが知られている：

• P の任意の有向部分集合A に対し、A がP 内の上限を持てばf (A )もQ 内の上限を持ち、sup f (A) = f (sup A ) が成立する。

スコット連続な関数は順序を保つ。実際、x ≥ y ⇒ sup{x , y } = x であるので、上述した条件よりsup{f (x ), f (y )}が存在し、しかも sup{f (x ), f (y )} = f (sup{x , y }) = f (x ) となる。これはf (x ) ≥ f (y ) を意味する。

なお、スコット位相と下方位相のいずれよりも強い位相構造の中で最弱のものをローソン位相という。

ストーン双対性

位相空間の開集合全体の集合は包含関係により順序集合と見なせる。位相空間が「sober性」という弱い性質を満たす時はこの順序構造のみで位相空間の構造が特徴づけられることが知られている（ストーンの双対性定理）。したがってsober性を満たす空間に話を限定すれば、点集合論に頼らなくても順序構造のみで位相空間論を展開できる（ポイントレス位相空間論）。