順序集合 圏としての順序集合

順序集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/04/19 02:26 UTC 版)

圏としての順序集合

任意の半順序集合(および前順序集合)は、任意の射集合が高々一つの元からなると看做すことができる。具体的には、射の集合を xy ならば hom(x, y) = {(x, y)}(それ以外の場合は空集合)とし、(y, z)∘(x, y) = (x, z) と定義する。二つの半順序集合が圏として同値となるのは、それらが順序集合として同型であるときであり、かつその時に限る。半順序集合に最小元が存在すればそれは始対象であり、最大元が存在すればそれは終対象となる。また、任意の前順序集合はある半順序集合に圏同値であり、半順序集合の任意の部分圏は同型射について閉じて英語版いる。

半順序集合からの函手、すなわち半順序圏で添字付けられた図式は、可換図式である。

その他

 

関連項目


  1. ^ 原理的には半順序集合であっても同様の概念を定義できるが、本稿の英語版をはじめ、筆者が調べた範囲では全順序集合に対してのみorder topologyを定義している為、ここでは全順序のみに話を限定した。
  2. ^ 実数体でなくとも上極限位相と下極限位相を考える事ができるが、これも実数体以外に対してこれらの位相を定義した文献が見つけられなかったので、ここでは実数体のみを対象にした。
  3. ^ Ward, L. E. Jr (1954). “Partially Ordered Topological Spaces”. Proceedings of the American Mathematical Society 5 (1): 144–161. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0063016-5. 
  4. ^ Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 0-486-46624-8. 





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