接続 (微分幾何学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/18 09:18 UTC 版)

曲率

一般のファイバーバンドルの曲率

詳細は「接続 (ファイバー束)#曲率の節」を参照

ファイバーバンドル $\pi ~:~E\to M$ の接続(英: connection) $\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}$ が与えられているとき、 $E$ の接ベクトル空間は $T_{e}E={\mathcal {V}}_{e}\oplus {\mathcal {H}}_{e}$ と分解できた。そこで

V_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {V}}_{e}

、

H_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {H}}_{e}

をそれぞれ垂直部分空間、水平部分空間への射影とする。曲率概念はこの $V e$ 、 $H e$ を使って定義する：

定義 (ファイバーバンドルの曲率形式) ― $E$ 上のベクトル場 $ξ$ 、 $η$ に対し、

\Omega (\xi ,\eta ):=-V([H(\xi ),H(\eta )])

をファイバーバンドル $E$ の接続 $\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}$ に関する曲率形式という^[51]。

ここで $[\cdot ,\cdot ]$ はリー括弧（英語版）である。 $Ω$ は $C^{\infty }(E)$ -線形であり^[51]^[52]^{[注 10]}^{[注 11]}、よって $Ω$ は双線形写像

\Omega ~:~TE\times TE\to {\mathcal {V}}

であるとみなせる^{[注 10]}。

フロベニウスの定理を用いると、曲率形式が恒等的に0である事は超平面の族 $\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}$ が可積分である事と同値である事を示せる^[55]。したがって曲率形式は水平部分空間　 $\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}$ が可積分ではない度合いを表す量である。

主接続の曲率

詳細は「接続 (ファイバー束)#主接続の曲率の節」を参照

本節では、主接続の場合に対し、上記で定義した曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。 $G$ をリー群とし、 ${\mathfrak {g}}$ を $G$ のリー代数とし、さらに $\pi ~:~P\to M$ を $G$ -主バンドルとし、 $ω$ を $P$ の主接続とする。リー代数 ${\mathfrak {g}}$ におけるリー括弧を使って

[\omega ,\omega ]_{\mathfrak {g}}(X,Y):=[\omega (X),\omega (Y)]_{\mathfrak {g}}

と定義し^[56]、さらに前の章と同様、リー代数の元に基本ベクトル場を対応させる写像

\zeta _{p}~:~A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\underline {A}}_{p}\in {\mathcal {V}}_{p}

を考える。紛れがなければ添字 $p$ を省略し単に $ζ$ と書く。

定理 (主バンドルの接続の曲率) ― 曲率形式 $Ω$ は以下を満たす^[57]^[58]^[56]^{[注 12]}：

（構造方程式^[58]） $\zeta {}^{-1}(\Omega )=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]_{\mathfrak {g}}\in {\mathfrak {g}}$

紛れがなければ $\zeta {}^{-1}(\Omega )$ を単に $Ω$ と書き、接続形式 $ω$ の曲率形式という。

ベクトルバンドルの接続の曲率

詳細は「接続 (ファイバー束)#Koszul接続の曲率の節」および「接続 (ベクトル束)#曲率」を参照

定義

Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する：

定義・定理 (曲率) ― ベクトルバンドル $\pi ~:~E\to M$ の接続 $\nabla$ に対し、

R(X,Y)s:=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s

for

X,Y\in {\mathfrak {X}}(M),s\in \Gamma (E)

を $\nabla$ に関する曲率（英: curvature）もしくは曲率テンソル（英: curvature tensor）という^[59]。

$R$ は $X$ 、 $Y$ 、 $s$ に関して $C^{\infty }(M)$ -線形であり^[60]、よって $R$ は各点 $P\in M$ に対し、

R_{P}\in T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E^{*}\otimes E

を対応させるテンソル場とみなせる。

さらにKoszul接続の曲率形式を以下のように定義する：

定義 ― $U$ を $M$ の開集合とし、 $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ を $U$ におけるフレームバンドル $F_{G}(M)$ の切断とする。このとき、曲率テンソルを

R(X,Y)e_{j}={\hat {\Omega }}^{i}{}_{j}(X,Y)e_{i}

と成分表示し、 ${\hat {\Omega }}_{e}:=({\hat {\Omega }}^{i}{}_{j})$ とすると、 $Ω e$ は一般線形群のリー代数 ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )$ に値を取る2-形式とみなせる。 ${\hat {\Omega }}_{e}$ を $e$ に関するKoszul接続 $\nabla$ の曲率形式（英: curvature form）という^[61]。

一般の接続の曲率形式との関係

すでに述べたようにベクトルバンドル $\pi ~:~E\to M$ 上のKoszul接続 $\nabla$ には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続 $\{V_{e}\}_{e\in E}$ が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は前述した一般のファイバーバンドルの曲率形式 $\Omega (\xi ,\eta )=-V([H(\xi ),H(\eta )])$ と以下の関係を満たす。ここで $H$ は水平部分空間への射影である。

定理 ― 記号を上述のように取る。このとき、 $M$ 上の点 $u$ 、ベクトル $X,Y\in T_{u}M$ 、 $s\in E_{u}$ に対し、以下が成立する^[62]：

R(X,Y)s=-V(\mathrm {Lift} _{s}(X),\mathrm {Lift} _{s}(Y))

よって特にKoszul接続の曲率形式 ${\hat {\Omega }}_{e}$ とは以下の関係を満たす：

\Omega ^{i}{}_{j}(X,Y)=-\langle e^{i},V(\mathrm {Lift} _{e_{j}}(X),\mathrm {Lift} _{e_{j}}(Y))\rangle

ここで $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ であり、 $(e^{1},\ldots ,e^{n})$ はその双対基底である。

主接続の曲率との関係

$E\to M$ のフレームバンドル $F_{G}(M)$ の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす：

定理 ― ベクトルバンドル $E\to M$ のフレームバンドル $F_{G}(M)$ に接続形式が $ω$ の接続が定義されているとし、この接続の曲率形式を $Ω$ とする。

さらにこの接続が $E$ に誘導する接続が定義するKoszul接続を $\nabla$ とし、 $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ を $M$ の開集合 $U$ 上定義された $F_{G}(M)$ の切断とし、 ${\hat {\Omega }}_{e}$ を $\nabla$ の $e$ に関する曲率形式とする。このとき、以下が成立する^[63]：

{\hat {\Omega }}_{e}=e^{*}(\Omega )

注

出典

^ C.G. Ricci, T. Levi=Civita (1901), Méthodes de calcul differéntiel absolu et leurs applications （絶対微分学の方法とその応用）矢野(1971) 和訳pp.17-95
^ 板場綾子「自己移入的Koszul多元環に対する有限条件(Fg) (有限群のコホモロジー論とその周辺)」『数理解析研究所講究録』第2061巻、京都大学数理解析研究所、2018年4月、33頁、CRID 1050001202603941760、hdl:2433/241849、ISSN 1880-2818、NAID 120006645349。
^ “Koszul duality for factorization algebras and extended topological field theories”. 2023年10月19日閲覧。
^ “2020年度幾何学 B アインシュタイン計量の幾何学 -リーマン幾何学入門とアインシュタイン計量の幾何学への応用-” (PDF). p. 75. 2023年10月19日閲覧。
^ #Spivak p.251. 「this possibility of comparing, or "connecting", tangent spaces at different points gives rise to the term "connection".」
^ #Andrews Lecture 10, p.2.
^ #Tu p.45.
^ #Andrews Lecture 8 p.74, Lecture 10 p.98.
^ #新井 p.304.
^ #Tu p.45.
^ #Spivak p.241.
^ José Figueroa-O'Farrill. “Lecture 5: Connections on principal and vector bundles”. PG course on Spin Geometry. p. 40. 2023年1月12日閲覧。
^ #森田 p.213.
^ #Tu p.72.
^ #小林 p.76.
^ #Tu p.75.
^ ^a ^b #Tu p.263.
^ #Tu p.113.
^ #Tu p.263.
^ #Spivak p.251.
^ #小林 p.38.
^ #Tu p.80.
^ #Spivak p.251.
^ #Tu p.256.
^ #Wendl3 p.73.
^ ^a ^b ^c ^d #Wendl3 p.74.
^ 「エーレスマン接続」という訳語は#佐古を参考にした。#佐古に目次にこの名称が確認できる。
^ #Epstein p.95.
^ #Tu p.256.
^ “Ehresmann connection”. nLab. 2023年8月30日閲覧。
^ #Kolar p.80.
^ #Kolar p.99.
^ #Kolar p.81.
^ #Tuynman p.345.
^ #Wendl3 p.75.
^ #Wendl3 pp.76-78.
^ #Kolar p.110.
^ #Wendl3 p.78.
^ #Wendl3 p.89.
^ #Tu p.247.
^ #Wendl3 p.89.
^ #Kolar p.100.
^ #Tu pp.255-256
^ #小林 p.61.
^ #Wendl3 p.90.なお本文献のみ「 $(R_{g})^{*}\omega _{p}$ 」ではなく「 $(R_{g})_{*}\omega _{p}$ 」になっているが、前後関係から「 $(R_{g})^{*}\omega _{p}$ 」の誤記と判断。
^ #Tu p.123.
^ #Salamon p.5.
^ #Wendl3 p.83.
^ #Pasquotto p.84.にこの定理のアフィン接続が述べられており、Koszul接続の場合も同様である旨が書いてある。このKoszul接続の場合は他の文献の記述からも従う。実際、 $G=\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の場合に1:1対応する事は#森田 pp.319-321従い、この場合に ${\hat {\omega }}_{e}=e^{*}(\omega )$ となる事は#Tu p.268から従う。そして $G$ が $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の部分リー群である場合に関しては#Kobayashi-Nomizu1 p.83のRemarkより $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ -主バンドル $F_{\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}(E)$ 上の接続形式が $G$ -主バンドル $F_{G}(E)$ にreduceする必要十分条件は $ω$ が $G$ のリー代数に値を取る事であるので、上記の事実から従う。
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.127.
^ ^a ^b #Wendl5 p.121.
^ #Kolar p.77.
^ #Tu p.49
^ #Tu p.56,58
^ #Wendl5 pp.119,121.
^ ^a ^b #Kolar pp.100-101.
^ #Tu p.270
^ ^a ^b #森田 p.302.
^ #小林 p.43.
^ #小林 p.43.
^ #Tu p.80
^ #Wendl5 p.123.
^ #Tu p.270.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f #Kolar pp.82-83.
^ Freeman 2011.
^ 日本数学会編 2007.
^ Christoffel 1869.
^ Levi-Civita 1900.
^ Levi-Civita 1916.
^ Weyl 1918.
^ Cartan 1926.
^ Ehresmann 1950.
^ Koszul 1950.

注釈

^ ^a ^b 人名「Koszul」を「コシュール」と訳している文献^[2]^[3]^[4]があるため、「コシュール接続」と読むと思われるが、「コシュール接続」と訳した文献を発見できなかったので本項では「Koszul接続」と表記した。なお、Wikipediaの英語版には「フランス語: [kɔsyl]」とある。
^ 接続 $\nabla$ は $M$ の全域で定義されたベクトル場と切断に関するものなので、このような局所的に定義された座標で表示できるか否かは非自明である。しかし $\nabla$ が「局所演算子」という性質を満たすことにより、局所的な座標で表示可能な事を示すことができる。詳細は接続 (ベクトル束)の項目を参照されたい。
^ 成分 $\omega ^{i}{}_{j}$ 接続形式といい、 $ω$ を接続行列（英: connection matrix）と呼ぶ場合もある^[22]。
^ 厳密には以下の通りである。 $M$ の曲線 $c(t)$ に沿って定義された局所的な基底 $e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))$ を考え、 $e(0)$ を $c(t)$ に沿って平行移動したものを ${\bar {e}}(t)=({\bar {e}}_{1}(t),\ldots ,{\bar {e}}_{n}(t))$ として行列 $A(t)$ を $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ により定義すると、接続形式の定義より、 $e(0)\omega \left({dc \over dt}(0)\right)$ $=\left.{\nabla \over dt}e(t)\right|_{t=0}$ $=\left.{\nabla \over dt}{\bar {e}}(t)A(t)\right|_{t=0}$ $={\bar {e}}(0){dA \over dt}(0)$ $=e(0){dA \over dt}(0)$ が成立する。ここで ${\nabla \over dt}e(t)$ は成分ごとの微分 $\left({\nabla \over dt}e_{1}(t),\ldots ,{\nabla \over dt}e_{n}(t)\right)$ の事である。 $\nabla$ が計量と両立すれば、 ${\bar {e}}(t)$ は正規直交基底である。よって $e(t)$ が正規直交基底であれば、 $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ より $A(t)$ は回転変換であり、 $A(t)$ の微分は歪対称行列である。
^ ここで $T_{e}(E_{\pi (e)})$ は $π (e)$ のファイバー $E_{\pi (e)}$ の点 $e$ における接空間であり、包含写像 $E_{\pi (e)}\subset E$ が誘導する写像 $T_{e}E_{\pi (e)}\hookrightarrow T_{e}E$ により $T_{e}E_{\pi (e)}$ を $T e E$ の部分空間とみなしている。
^ ^a ^b この「 ${\mathcal {H}}_{e}$ は $e$ に関して $C \infty$ 級である」というのを厳密に定式化する方法は（同値な方法が）いくつかあるが、一つの方法は ${\mathcal {H}}=\cup _{e\in E}{\mathcal {H}}_{e}$ を ${\mathcal {H}}_{e}$ を $e\in E$ 上のファイバーとする $TE$ の部分ベクトルバンドルとみなし、 ${\mathcal {H}}$ が $TE$ の $C \infty$ 級の部分ベクトルバンドルである事を要請するというものである。
^ 垂直部分空間の定義より ${\mathcal {V}}_{e}=T_{e}E_{\pi (e)}$ であるが、 $E_{\pi (e)}$ はベクトル空間なので、 $E_{\pi (e)}$ と接空間 $T_{e}E_{\pi (e)}$ と $E_{\pi (e)}$ は自然に同一視できる。
^ なお、#Salamonでは $\mathbb {R} ^{n}$ の（標準的とは限らない）基底 $(f_{1},\ldots ,f_{n})$ を $\mathbb {R} ^{n}$ から $\mathbb {R} ^{n}$ への線形写像 $f$ と自然に同一視し、各 $u\in M$ に対し、
$\mathbb {R} ^{n}{\overset {f}{\to }}E_{x}{\overset {\varphi _{\alpha }}{\to }}\{u\}\times \mathbb {R} ^{n}\approx \mathbb {R} ^{n}$
が $G$ に属する事を持って $G$ -フレームを定義しているが、この定義は本項で述べたものと同値である。
^ #Wendl3の定義は若干曖昧で単に「十分短い曲線」（sufficiently short path）に沿った平行移動が $G$ と両立する自明化（ $G$ -compatible connection） $v\to g(t)v$ for $g(t)\in G$ を持つとしか言っていないが、局所自明化可能な領域内の曲線がこのように書ければ十分なので、ここではそのように定義した。
^ ^a ^b ここで $\Omega (\xi ,\eta )$ が $C^{\infty }(E)$ -線形であるとは、通常の線形性を満たすのみならず関数 $f$ に対して $f\cdot \Omega (\xi ,\eta )$ $=\Omega (f\cdot \xi ,\eta )$ $=\Omega (\xi ,f\cdot \eta )$ を満たす事を指す^[53]。 $C^{\infty }(E)$ -線形である事は、 $\Omega (\xi ,\eta )$ の各点 $e\in E$ における値が $ξ$ 、 $η$ の点 $e$ における値 $ξ e$ 、 $η e$ のみで決まること、すなわち $Ω$ が各点における双線形写像のテンソル場とみなせる事と同値である事が知られている^[54]。
^ #Kolarにおける曲率の定義はここに書いたものと符号が反対だが、#Kolar p.73.にあるように#Kolarの定義だと「通常の曲率と符号が反対」になるので、#Wendl5 p.121の方の符号を採用した。
^ #Kolar p.100-101.のみ右辺第二項は ${\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]$ となっているが、これは#Kolarの間違いであると判断した。実際#Kolar p.100の一番下にある $[\cdot ,\cdot ]_{\wedge }$ の定義式に $p=q=1$ を代入すると $[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]$ となり、 ${\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]$ とはならない。またこの#Kolar p.100の一番下の係数 ${\tfrac {1}{p!q!}}$ は#森田の1巻のp.95.では ${\tfrac {1}{(p+q)!}}$ になっているため、#Kolarが $[\cdot ,\cdot ]_{\wedge }$ の定義式を間違えた可能性が高い。#Tu p.285も参照。
^ これはFreeman^[65]の立場。ほかには、たとえば岩波数学辞典は後出のレヴィ＝チヴィタによる平行移動の発見を接続の概念のはじまりとしている^[66]。
^ 正確には、現在の言葉でいう捩れのないアフィン接続。