接続 (微分幾何学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/18 09:18 UTC 版)

ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性

詳細は「接続 (ファイバー束)#Koszul接続」を参照

「接続 (ファイバー束)#同伴バンドルへの誘導の節」も参照

本節では接続形式の章で述べたアイデアに基づいて、ベクトルバンドルの接続（Koszul接続）と主バンドルの接続（主接続）の関係を述べる。

接続形式の章で見た $\mathrm {SO} (n)$ のケースだけでなく $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の部分リー群 $G$ に対して両者の関係性を示すため、本章ではまず「 $G$ -フレーム」、および「 $G$ -フレームバンドル（英語版）」という概念を導入する。「 $G$ -フレーム」は $G$ が $\mathrm {SO} (n)$ の場合は正規直交基底に相当するものであり、 $G$ -フレームバンドルは $G$ -フレームを束ねてできるバンドルであり、自然に $G$ -主バンドルとみなせる。

次に本章では $E$ のフレームバンドル上の接続から $E$ のKoszul接続が定まる事を見る。そして構造群 $G$ を持つベクトルバンドルの接続が $G$ と「両立する」事を定義し、最後に $G$ -フレームバンドルの接続の接続形式とベクトルバンドルの $G$ と両立する接続の接続形式が1対1の関係にある事を見る。

フレームバンドル

定義

「 $G$ -フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、 $G$ が $\mathrm {SO} (n)$ の場合、 $G$ -フレームが正規直交基底に相当する。

定義 ― $G$ を $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の部分リー群とし、 $\pi ~:~E\to M$ を構造群 $G$ を持つベクトルバンドルとし、 $u$ を $M$ の点とし、 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ を $E u$ の基底とする。 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ が $E$ の $u$ における $G$ -フレーム（英: $G$ -flame）であるとは、 $E$ の $u$ におけるバンドルチャート $U\times \mathbb {R} ^{n}$ と $g\in G$ が存在し、このバンドルチャート上で

(e_{1},\ldots ,e_{n})=(ge'_{1},\ldots ,ge'_{n})

が成立する事を言う。

ここで $e'_{1},\ldots ,e'_{n}$ は $\mathbb {R} ^{n}$ の標準的な基底であり、 $ge_{i}$ は線形変換 $g\in G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ を $e i$ に作用させたものである。

構造群 $G$ を持つベクトルバンドルの定義から、 $G$ -フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。

$F^{G}(E)_{u}$ を $u\in M$ 上の $G$ -フレーム全体の集合とすると、

F^{G}(E):=\bigcup _{u\in M}F^{G}(E)_{u}

は自然に $M$ 上の $G$ -主バンドルをなし、 $F^{G}(E)$ を構造群 $G$ に関するフレームバンドルという^[47]^{[注 8]}。

主接続からKoszul接続の誘導

$\pi ~:~E\to M$ を $G$ を構造群を持つベクトルバンドルとし、 $F_{G}(E)$ をそのフレームバンドルとする。さらに $G$ -主バンドル $F^{G}(E)$ に接続形式が $\omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}$ の接続が入っているとする。開集合 $U\subset M$ 上定義された $E$ の局所的な基底 $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ に対し、

{\hat {\omega }}:=e^{*}(\omega )

を、 $e$ を $U$ から $F G (E)$ への写像と見たときの接続形式 $ω$ の $U$ への引き戻しとし、 ${\hat {\omega }}$ を ${\hat {\omega }}=({\hat {\omega }}^{i}{}_{j})_{i,j}$ と成分表示する。

定理・定理 ― 記号を上述のように取る。 $E$ の切断 $s$ と $M$ 上のベクトル場 $X$ に対し、

\nabla _{X}s:=X(s^{j})e_{j}+s^{j}{\hat {\omega }}^{i}{}_{j}(X)e_{i}

と微分演算子 $\nabla$ を定義すると、 $\nabla$ は局所的な基底 $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ の取り方によらずwell-definedで、しかも $\nabla$ はKoszul接続の公理を満たす。 $\nabla$ を $\omega$ から誘導される接続という。

構造群と接続の両立

$G$ を $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の部分リー群とする。構造群 $G$ を持つベクトルバンドルの接続（Koszul接続）が $G$ と両立する事を以下のように定義する。直観的には平行移動が $G$ の元で書ける事を意味する：

定義 (構造群と両立するKoszul接続) ― $M$ を連結な多様体とし、 $G$ を $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ^{n})$ の閉部分リー群とし、 $\pi ~:~E\to M$ を構造群 $G$ を持つベクトルバンドルとし、 $\nabla$ を $E\to M$ のKoszul接続とする。このとき、 $\nabla$ が $G$ と両立する（英: $G$ -compatible）とは、 $\pi ~:~E\to M$ の任意の局所自明化

\varphi ~:~\pi ^{-1}(U){\tilde {\to }}V\times \mathbb {R} ^{n}

where

U\subset M

open、

V\subset \mathbb {R} ^{m}

open

に対し、 $U$ 内の任意の曲線 $u(t)$ に沿った平行移動 $E_{u(0)}\to E_{u(1)}$ が $G$ に属する線形変換である事を言う^[48]^{[注 9]}。

定義より明らかに以下が従う：

定義 ― $\pi ~:~E\to M$ を構造群 $G$ を持つベクトルバンドルとする。このとき、 $G$ -フレームバンドル $F_{G}(E)$ 上の接続形式から誘導された $E$ の接続は $G$ と両立する。

接続が $G$ と両立する事は、接続形式が $G$ のリー代数に入っている事と同値である：

定義 ( $G$ と両立するKoszul接続) ― $\nabla$ を $E$ 上定義されたKoszul接続とし、 $\omega _{e}$ をその接続形式とする。 $\nabla$ が $G$ と両立する必要十分条件は、任意の局所的な基底 $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ に対し、

\omega _{e}\in {\mathfrak {g}}

が成立する事を言う。

接続形式の章では平行移動が常に $\mathrm {SO} (n)$ の元で表せるときに接続形式が $\mathrm {SO} (n)$ のリー代数に入っている事を示したが、上記の定理はこの事実を $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の任意の部分リー群に対して示したものである。

ベクトルバンドルの接続から主接続の接続へ

$G$ と両立する接続はフレームバンドルの接続に対応している：

定理 ― $G$ を構造群として持つベクトルバンドル $E\to M$ のKoszul接続 $\nabla$ が $G$ と両立するとき、フレームバンドル $F G (E)$ のある接続形式 $ω$ が存在し、 $\nabla$ は $ω$ から $E$ に誘導される接続と一致する。

本章の成果をまとめると、以下の結論が得られる：

定義 (主接続とKoszul接続の関係) ― $E$ 上のKoszul接続で $G$ と両立するものは $F_{G}(E)$ の主接続と1 : 1で対応する。さらに $G$ と両立するにKoszul接続 $\nabla$ に対応する主接続の接続形式を $ω$ とすると、任意の開集合 $U\subset M$ と $U$ 上で定義された $F_{G}(E)$ の任意の局所的な切断 $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ に対し、

{\hat {\omega }}_{e}=e^{*}(\omega )

が成立する。ここで ${\hat {\omega }}_{e}$ は $e=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ を局所的な基底とみなしたときの $e$ に関する $\nabla$ の接続形式であり、 $e^{*}(\omega )$ は $e$ を $U$ から $F G (E)$ への写像と見たときの接続形式 $ω$ の $U$ への引き戻しである^[49]。

共変微分の対応関係

ベクトルバンドル $E\to M$ の切断 $s$ が与えられたとき、 $F_{G}(M)$ 上の関数

\psi _{s}~:~(e_{1},\ldots ,e_{n})\in F_{G}(M)\mapsto (s^{1},\ldots ,s^{n})\in \mathbb {R} ^{n}

, where

s=s^{i}e_{i}

を定義できる。このとき次が成立する：

定理 ― $M$ 上の任意のベクトル場 $X$ に対し、以下が成立する^[50]：

\psi _{\nabla _{X}s}=\mathrm {Lift} (X)\psi _{s}

ここで $\mathrm {Lift} (X)\psi _{s}$ は $F_{G}(M)$ 上のベクトル場 $Y:=\mathrm {Lift} (X)$ により $F_{G}(M)$ 上の $\mathbb {R} ^{n}$ 値関数 $\psi _{s}$ の各成分を微分した $Y(\psi _{s})$ の事である。

注

出典

^ C.G. Ricci, T. Levi=Civita (1901), Méthodes de calcul differéntiel absolu et leurs applications （絶対微分学の方法とその応用）矢野(1971) 和訳pp.17-95
^ 板場綾子「自己移入的Koszul多元環に対する有限条件(Fg) (有限群のコホモロジー論とその周辺)」『数理解析研究所講究録』第2061巻、京都大学数理解析研究所、2018年4月、33頁、CRID 1050001202603941760、hdl:2433/241849、ISSN 1880-2818、NAID 120006645349。
^ “Koszul duality for factorization algebras and extended topological field theories”. 2023年10月19日閲覧。
^ “2020年度幾何学 B アインシュタイン計量の幾何学 -リーマン幾何学入門とアインシュタイン計量の幾何学への応用-” (PDF). p. 75. 2023年10月19日閲覧。
^ #Spivak p.251. 「this possibility of comparing, or "connecting", tangent spaces at different points gives rise to the term "connection".」
^ #Andrews Lecture 10, p.2.
^ #Tu p.45.
^ #Andrews Lecture 8 p.74, Lecture 10 p.98.
^ #新井 p.304.
^ #Tu p.45.
^ #Spivak p.241.
^ José Figueroa-O'Farrill. “Lecture 5: Connections on principal and vector bundles”. PG course on Spin Geometry. p. 40. 2023年1月12日閲覧。
^ #森田 p.213.
^ #Tu p.72.
^ #小林 p.76.
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^ ^a ^b #Tu p.263.
^ #Tu p.113.
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^ #Spivak p.251.
^ #小林 p.38.
^ #Tu p.80.
^ #Spivak p.251.
^ #Tu p.256.
^ #Wendl3 p.73.
^ ^a ^b ^c ^d #Wendl3 p.74.
^ 「エーレスマン接続」という訳語は#佐古を参考にした。#佐古に目次にこの名称が確認できる。
^ #Epstein p.95.
^ #Tu p.256.
^ “Ehresmann connection”. nLab. 2023年8月30日閲覧。
^ #Kolar p.80.
^ #Kolar p.99.
^ #Kolar p.81.
^ #Tuynman p.345.
^ #Wendl3 p.75.
^ #Wendl3 pp.76-78.
^ #Kolar p.110.
^ #Wendl3 p.78.
^ #Wendl3 p.89.
^ #Tu p.247.
^ #Wendl3 p.89.
^ #Kolar p.100.
^ #Tu pp.255-256
^ #小林 p.61.
^ #Wendl3 p.90.なお本文献のみ「 $(R_{g})^{*}\omega _{p}$ 」ではなく「 $(R_{g})_{*}\omega _{p}$ 」になっているが、前後関係から「 $(R_{g})^{*}\omega _{p}$ 」の誤記と判断。
^ #Tu p.123.
^ #Salamon p.5.
^ #Wendl3 p.83.
^ #Pasquotto p.84.にこの定理のアフィン接続が述べられており、Koszul接続の場合も同様である旨が書いてある。このKoszul接続の場合は他の文献の記述からも従う。実際、 $G=\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の場合に1:1対応する事は#森田 pp.319-321従い、この場合に ${\hat {\omega }}_{e}=e^{*}(\omega )$ となる事は#Tu p.268から従う。そして $G$ が $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ の部分リー群である場合に関しては#Kobayashi-Nomizu1 p.83のRemarkより $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ -主バンドル $F_{\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}(E)$ 上の接続形式が $G$ -主バンドル $F_{G}(E)$ にreduceする必要十分条件は $ω$ が $G$ のリー代数に値を取る事であるので、上記の事実から従う。
^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.127.
^ ^a ^b #Wendl5 p.121.
^ #Kolar p.77.
^ #Tu p.49
^ #Tu p.56,58
^ #Wendl5 pp.119,121.
^ ^a ^b #Kolar pp.100-101.
^ #Tu p.270
^ ^a ^b #森田 p.302.
^ #小林 p.43.
^ #小林 p.43.
^ #Tu p.80
^ #Wendl5 p.123.
^ #Tu p.270.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f #Kolar pp.82-83.
^ Freeman 2011.
^ 日本数学会編 2007.
^ Christoffel 1869.
^ Levi-Civita 1900.
^ Levi-Civita 1916.
^ Weyl 1918.
^ Cartan 1926.
^ Ehresmann 1950.
^ Koszul 1950.

注釈

^ ^a ^b 人名「Koszul」を「コシュール」と訳している文献^[2]^[3]^[4]があるため、「コシュール接続」と読むと思われるが、「コシュール接続」と訳した文献を発見できなかったので本項では「Koszul接続」と表記した。なお、Wikipediaの英語版には「フランス語: [kɔsyl]」とある。
^ 接続 $\nabla$ は $M$ の全域で定義されたベクトル場と切断に関するものなので、このような局所的に定義された座標で表示できるか否かは非自明である。しかし $\nabla$ が「局所演算子」という性質を満たすことにより、局所的な座標で表示可能な事を示すことができる。詳細は接続 (ベクトル束)の項目を参照されたい。
^ 成分 $\omega ^{i}{}_{j}$ 接続形式といい、 $ω$ を接続行列（英: connection matrix）と呼ぶ場合もある^[22]。
^ 厳密には以下の通りである。 $M$ の曲線 $c(t)$ に沿って定義された局所的な基底 $e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))$ を考え、 $e(0)$ を $c(t)$ に沿って平行移動したものを ${\bar {e}}(t)=({\bar {e}}_{1}(t),\ldots ,{\bar {e}}_{n}(t))$ として行列 $A(t)$ を $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ により定義すると、接続形式の定義より、 $e(0)\omega \left({dc \over dt}(0)\right)$ $=\left.{\nabla \over dt}e(t)\right|_{t=0}$ $=\left.{\nabla \over dt}{\bar {e}}(t)A(t)\right|_{t=0}$ $={\bar {e}}(0){dA \over dt}(0)$ $=e(0){dA \over dt}(0)$ が成立する。ここで ${\nabla \over dt}e(t)$ は成分ごとの微分 $\left({\nabla \over dt}e_{1}(t),\ldots ,{\nabla \over dt}e_{n}(t)\right)$ の事である。 $\nabla$ が計量と両立すれば、 ${\bar {e}}(t)$ は正規直交基底である。よって $e(t)$ が正規直交基底であれば、 $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ より $A(t)$ は回転変換であり、 $A(t)$ の微分は歪対称行列である。
^ ここで $T_{e}(E_{\pi (e)})$ は $π (e)$ のファイバー $E_{\pi (e)}$ の点 $e$ における接空間であり、包含写像 $E_{\pi (e)}\subset E$ が誘導する写像 $T_{e}E_{\pi (e)}\hookrightarrow T_{e}E$ により $T_{e}E_{\pi (e)}$ を $T e E$ の部分空間とみなしている。
^ ^a ^b この「 ${\mathcal {H}}_{e}$ は $e$ に関して $C \infty$ 級である」というのを厳密に定式化する方法は（同値な方法が）いくつかあるが、一つの方法は ${\mathcal {H}}=\cup _{e\in E}{\mathcal {H}}_{e}$ を ${\mathcal {H}}_{e}$ を $e\in E$ 上のファイバーとする $TE$ の部分ベクトルバンドルとみなし、 ${\mathcal {H}}$ が $TE$ の $C \infty$ 級の部分ベクトルバンドルである事を要請するというものである。
^ 垂直部分空間の定義より ${\mathcal {V}}_{e}=T_{e}E_{\pi (e)}$ であるが、 $E_{\pi (e)}$ はベクトル空間なので、 $E_{\pi (e)}$ と接空間 $T_{e}E_{\pi (e)}$ と $E_{\pi (e)}$ は自然に同一視できる。
^ なお、#Salamonでは $\mathbb {R} ^{n}$ の（標準的とは限らない）基底 $(f_{1},\ldots ,f_{n})$ を $\mathbb {R} ^{n}$ から $\mathbb {R} ^{n}$ への線形写像 $f$ と自然に同一視し、各 $u\in M$ に対し、
$\mathbb {R} ^{n}{\overset {f}{\to }}E_{x}{\overset {\varphi _{\alpha }}{\to }}\{u\}\times \mathbb {R} ^{n}\approx \mathbb {R} ^{n}$
が $G$ に属する事を持って $G$ -フレームを定義しているが、この定義は本項で述べたものと同値である。
^ #Wendl3の定義は若干曖昧で単に「十分短い曲線」（sufficiently short path）に沿った平行移動が $G$ と両立する自明化（ $G$ -compatible connection） $v\to g(t)v$ for $g(t)\in G$ を持つとしか言っていないが、局所自明化可能な領域内の曲線がこのように書ければ十分なので、ここではそのように定義した。
^ ^a ^b ここで $\Omega (\xi ,\eta )$ が $C^{\infty }(E)$ -線形であるとは、通常の線形性を満たすのみならず関数 $f$ に対して $f\cdot \Omega (\xi ,\eta )$ $=\Omega (f\cdot \xi ,\eta )$ $=\Omega (\xi ,f\cdot \eta )$ を満たす事を指す^[53]。 $C^{\infty }(E)$ -線形である事は、 $\Omega (\xi ,\eta )$ の各点 $e\in E$ における値が $ξ$ 、 $η$ の点 $e$ における値 $ξ e$ 、 $η e$ のみで決まること、すなわち $Ω$ が各点における双線形写像のテンソル場とみなせる事と同値である事が知られている^[54]。
^ #Kolarにおける曲率の定義はここに書いたものと符号が反対だが、#Kolar p.73.にあるように#Kolarの定義だと「通常の曲率と符号が反対」になるので、#Wendl5 p.121の方の符号を採用した。
^ #Kolar p.100-101.のみ右辺第二項は ${\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]$ となっているが、これは#Kolarの間違いであると判断した。実際#Kolar p.100の一番下にある $[\cdot ,\cdot ]_{\wedge }$ の定義式に $p=q=1$ を代入すると $[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]$ となり、 ${\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]$ とはならない。またこの#Kolar p.100の一番下の係数 ${\tfrac {1}{p!q!}}$ は#森田の1巻のp.95.では ${\tfrac {1}{(p+q)!}}$ になっているため、#Kolarが $[\cdot ,\cdot ]_{\wedge }$ の定義式を間違えた可能性が高い。#Tu p.285も参照。
^ これはFreeman^[65]の立場。ほかには、たとえば岩波数学辞典は後出のレヴィ＝チヴィタによる平行移動の発見を接続の概念のはじまりとしている^[66]。
^ 正確には、現在の言葉でいう捩れのないアフィン接続。