接続 (微分幾何学)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/12/18 09:18 UTC 版)
ファイバーバンドルの接続
主バンドルの接続を定義する前準備として、一般のファイバーバンドルに対する接続を定義する。後述するように、主バンドルの接続はファイバーバンドルに対する接続で群作用に対して普遍になるものである。
すでに述べたように研究が進んでいるのばベクトルバンドルの接続なので、そのような目的のためにはこの一般の接続概念は必要ない。しかしファイバーバンドルの接続により、ベクトルバンドルの接続と次章に述べる主バンドルの接続とを統一的な視点から語る事ができるようになり、主バンドルの接続に基づいてベクトルバンドルの接続の性質をそれに対応する主バンドルの接続と対応付けて調べる事ができる。
定義に至る背景
をベクトルバンドルとし、∇をこのバンドルのKoszul接続とする。M上の任意の曲線c(t)とc(t)上の任意の切断s(t)で平行なものに対し、s(t)をE上の曲線とみなしたときにが入るTeEの部分空間を「水平部分空間」と呼ぶ。
以上のように接続∇から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている[23]。
このことからベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。
定義
以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。をファイバーFを持つファイバーバンドルとし、e∈EをEの元とするとしπが誘導する写像をとするとき、
を、eにおけるTeEの垂直部分空間(英: vertical subspace)という[24][25][注 5]。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する:
定義 (接続) ― ファイバーバンドルの(C∞級の)接続(英: connection)とは、Eの各点eにおけるTeMの部分空間の族でeに関してC∞級であり[注 6]、以下の性質を満たすものである[26]:
名称に関して
ファイバーバンドルの接続のことをエーレスマン接続[27](英: Ehresmann conection)と呼ぶ場合があるが[28]、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍[29]もあるので注意が必要である[30]。なお主バンドル上においても両者の概念は同値ではなく、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。
両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続(英: general connection[31])、主バンドルの接続を主接続(英: principal connection[32])と呼ぶ場合がある。
またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある[33]。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた[34]。
平行移動、共変微分
平行移動
をファイバーバンドルとし、をその接続とする。
定義 ― M上の曲線上定義された切断が平行であるとは、
が任意のtに対して成立する事をいう。
接続の定義から、
はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像
を考える事ができる。をのeへの水平リフト(英: horizontal lift[26])という。水平リフトの定義から明らかなように、切断が平行である必要十分条件は
を満たす事である[26]。
共変微分
同様にM上の曲線に沿った切断に対し、のに沿った共変微分を
により定義する。この事からすなわち、共変微分とは、平行移動からのズレを表す量である事がわかる。
一般の接続からベクトルバンドルの接続へ
ベクトルバンドルのKoszul接続から一般の接続概念が得られる事をすでに見たが、逆にベクトルバンドル上の(一般の)接続が定める共変微分がKoszul接続の公理を満たす条件は以下の通りである:
定理 (Koszul接続の条件) ― をベクトルバンドルとし、をのファイバーバンドルとしての接続する。さらにを垂直部分空間との自然な同一視とする[注 7]。
- が定義する共変微分を∇とすると、はKoszul接続の公理を満たす。
- 任意の、に対し、
ここでmλはベクトルをλ倍したに写す写像とする。
Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と(上記の定理の条件を満たす)一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する[38]。
出典
- ^ C.G. Ricci, T. Levi=Civita (1901), Méthodes de calcul differéntiel absolu et leurs applications(絶対微分学の方法とその応用)矢野(1971) 和訳pp.17-95
- ^ 板場綾子「自己移入的Koszul多元環に対する有限条件(Fg) (有限群のコホモロジー論とその周辺)」『数理解析研究所講究録』第2061巻、京都大学数理解析研究所、2018年4月、33頁、CRID 1050001202603941760、hdl:2433/241849、ISSN 1880-2818、NAID 120006645349。
- ^ “Koszul duality for factorization algebras and extended topological field theories”. 2023年10月19日閲覧。
- ^ “2020年度 幾何学 B アインシュタイン計量の幾何学 -リーマン幾何学入門とアインシュタイン計量の幾何学への応用-” (PDF). p. 75. 2023年10月19日閲覧。
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- ^ #Andrews Lecture 10, p.2.
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- ^ #Spivak p.251.
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- ^ 「エーレスマン接続」という訳語は#佐古を参考にした。#佐古に目次にこの名称が確認できる。
- ^ #Epstein p.95.
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- ^ #Wendl3 p.89.
- ^ #Kolar p.100.
- ^ #Tu pp.255-256
- ^ #小林 p.61.
- ^ #Wendl3 p.90.なお本文献のみ「」ではなく「」になっているが、前後関係から「」の誤記と判断。
- ^ #Tu p.123.
- ^ #Salamon p.5.
- ^ #Wendl3 p.83.
- ^ #Pasquotto p.84.にこの定理のアフィン接続が述べられており、Koszul接続の場合も同様である旨が書いてある。このKoszul接続の場合は他の文献の記述からも従う。実際、の場合に1:1対応する事は#森田 pp.319-321従い、この場合にとなる事は#Tu p.268から従う。そしてGがの部分リー群である場合に関しては#Kobayashi-Nomizu1 p.83のRemarkより-主バンドル上の接続形式がG-主バンドルにreduceする必要十分条件はωがGのリー代数に値を取る事であるので、上記の事実から従う。
- ^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.127.
- ^ a b #Wendl5 p.121.
- ^ #Kolar p.77.
- ^ #Tu p.49
- ^ #Tu p.56,58
- ^ #Wendl5 pp.119,121.
- ^ a b #Kolar pp.100-101.
- ^ #Tu p.270
- ^ a b #森田 p.302.
- ^ #小林 p.43.
- ^ #小林 p.43.
- ^ #Tu p.80
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- ^ #Tu p.270.
- ^ a b c d e f #Kolar pp.82-83.
- ^ Freeman 2011.
- ^ 日本数学会編 2007.
- ^ Christoffel 1869.
- ^ Levi-Civita 1900.
- ^ Levi-Civita 1916.
- ^ Weyl 1918.
- ^ Cartan 1926.
- ^ Ehresmann 1950.
- ^ Koszul 1950.
注釈
- ^ a b 人名「Koszul」を「コシュール」と訳している文献[2][3][4]があるため、「コシュール接続」と読むと思われるが、「コシュール接続」と訳した文献を発見できなかったので本項では「Koszul接続」と表記した。なお、Wikipediaの英語版には「フランス語: [kɔsyl]」とある。
- ^ 接続∇はMの全域で定義されたベクトル場と切断に関するものなので、このような局所的に定義された座標で表示できるか否かは非自明である。しかし∇が「局所演算子」という性質を満たすことにより、局所的な座標で表示可能な事を示すことができる。詳細は接続 (ベクトル束)の項目を参照されたい。
- ^ 成分接続形式といい、ωを接続行列(英: connection matrix)と呼ぶ場合もある[22]。
- ^ 厳密には以下の通りである。Mの曲線に沿って定義された局所的な基底を考え、をに沿って平行移動したものをとして行列を により定義すると、接続形式の定義より、 が成立する。ここでは成分ごとの微分の事である。 ∇が計量と両立すれば、は正規直交基底である。よって が正規直交基底であれば、よりは回転変換であり、の微分は歪対称行列である。
- ^ ここではπ(e)のファイバーの点eにおける接空間であり、包含写像が誘導する写像によりをTeEの部分空間とみなしている。
- ^ a b この「はeに関してC∞級である」というのを厳密に定式化する方法は(同値な方法が)いくつかあるが、一つの方法はをを上のファイバーとするTEの部分ベクトルバンドルとみなし、がTEのC∞級の部分ベクトルバンドルである事を要請するというものである。
- ^ 垂直部分空間の定義よりであるが、はベクトル空間なので、と接空間とは自然に同一視できる。
- ^ なお 、#Salamonではの(標準的とは限らない)基底をからへの線形写像fと自然に同一視し、各に対し、
- ^ #Wendl3の定義は若干曖昧で単に「十分短い曲線」(sufficiently short path)に沿った平行移動がGと両立する自明化(G-compatible connection) for を持つとしか言っていないが、局所自明化可能な領域内の曲線がこのように書ければ十分なので、ここではそのように定義した。
- ^ a b ここでが-線形であるとは、通常の線形性を満たすのみならず関数fに対してを満たす事を指す[53]。-線形である事は、の各点における値がξ、ηの点eにおける値ξe、ηeのみで決まること、すなわちΩが各点における双線形写像のテンソル場とみなせる事と同値である事が知られている[54]。
- ^ #Kolarにおける曲率の定義はここに書いたものと符号が反対だが、#Kolar p.73.にあるように#Kolarの定義だと「通常の曲率と符号が反対」になるので、#Wendl5 p.121の方の符号を採用した。
- ^ #Kolar p.100-101.のみ右辺第二項はとなっているが、これは#Kolarの間違いであると判断した。実際#Kolar p.100の一番下にあるの定義式にを代入するととなり、とはならない。またこの#Kolar p.100の一番下の係数は#森田の1巻のp.95.ではになっているため、#Kolarがの定義式を間違えた可能性が高い。#Tu p.285も参照。
- ^ これはFreeman[65]の立場。ほかには、たとえば岩波数学辞典は後出のレヴィ=チヴィタによる平行移動の発見を接続の概念のはじまりとしている[66]。
- ^ 正確には、現在の言葉でいう捩れのないアフィン接続。
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