接続 (微分幾何学)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/12/18 09:18 UTC 版)
接続形式
本章では接続∇の「接続形式」という概念を述べる。本章で述べるように、むしろ接続形式から接続を定義したほうが数学的な構造を探る上で有利な点があり、このアイデアに沿って接続を定式化したのが後の章で述べる主バンドルの接続概念である。
定義
を開集合上で定義されたEの局所的な基底とするとき、接続形式を以下のように定義する:
接続形式が与えられれば
により接続を再現できるので、この意味において接続形式は接続∇の情報をすべて含んでいる。
性質
接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、底空間Mの曲線に沿って定義された局所的な基底をtで微分したものが接続形式に一致する。
よって特に(レヴィ・チヴィタ接続などの)∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわちの元なので、その微分である接続形式ωはのリー代数の元、すなわち歪対称行列である[注 4]:
このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群(上の例では)が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。
上では回転群の場合を説明したが、(を自然にの部分群とみなしたもの)や、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。
こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。
そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。
そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化し、ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。
出典
- ^ C.G. Ricci, T. Levi=Civita (1901), Méthodes de calcul differéntiel absolu et leurs applications(絶対微分学の方法とその応用)矢野(1971) 和訳pp.17-95
- ^ 板場綾子「自己移入的Koszul多元環に対する有限条件(Fg) (有限群のコホモロジー論とその周辺)」『数理解析研究所講究録』第2061巻、京都大学数理解析研究所、2018年4月、33頁、CRID 1050001202603941760、hdl:2433/241849、ISSN 1880-2818、NAID 120006645349。
- ^ “Koszul duality for factorization algebras and extended topological field theories”. 2023年10月19日閲覧。
- ^ “2020年度 幾何学 B アインシュタイン計量の幾何学 -リーマン幾何学入門とアインシュタイン計量の幾何学への応用-” (PDF). p. 75. 2023年10月19日閲覧。
- ^ #Spivak p.251. 「this possibility of comparing, or "connecting", tangent spaces at different points gives rise to the term "connection".」
- ^ #Andrews Lecture 10, p.2.
- ^ #Tu p.45.
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- ^ a b #Tu p.263.
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- ^ #Spivak p.251.
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- ^ #Wendl3 p.73.
- ^ a b c d #Wendl3 p.74.
- ^ 「エーレスマン接続」という訳語は#佐古を参考にした。#佐古に目次にこの名称が確認できる。
- ^ #Epstein p.95.
- ^ #Tu p.256.
- ^ “Ehresmann connection”. nLab. 2023年8月30日閲覧。
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- ^ #Tuynman p.345.
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- ^ #Tu p.247.
- ^ #Wendl3 p.89.
- ^ #Kolar p.100.
- ^ #Tu pp.255-256
- ^ #小林 p.61.
- ^ #Wendl3 p.90.なお本文献のみ「」ではなく「」になっているが、前後関係から「」の誤記と判断。
- ^ #Tu p.123.
- ^ #Salamon p.5.
- ^ #Wendl3 p.83.
- ^ #Pasquotto p.84.にこの定理のアフィン接続が述べられており、Koszul接続の場合も同様である旨が書いてある。このKoszul接続の場合は他の文献の記述からも従う。実際、の場合に1:1対応する事は#森田 pp.319-321従い、この場合にとなる事は#Tu p.268から従う。そしてGがの部分リー群である場合に関しては#Kobayashi-Nomizu1 p.83のRemarkより-主バンドル上の接続形式がG-主バンドルにreduceする必要十分条件はωがGのリー代数に値を取る事であるので、上記の事実から従う。
- ^ #Kobayashi-Nomizu-1 p.127.
- ^ a b #Wendl5 p.121.
- ^ #Kolar p.77.
- ^ #Tu p.49
- ^ #Tu p.56,58
- ^ #Wendl5 pp.119,121.
- ^ a b #Kolar pp.100-101.
- ^ #Tu p.270
- ^ a b #森田 p.302.
- ^ #小林 p.43.
- ^ #小林 p.43.
- ^ #Tu p.80
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- ^ #Tu p.270.
- ^ a b c d e f #Kolar pp.82-83.
- ^ Freeman 2011.
- ^ 日本数学会編 2007.
- ^ Christoffel 1869.
- ^ Levi-Civita 1900.
- ^ Levi-Civita 1916.
- ^ Weyl 1918.
- ^ Cartan 1926.
- ^ Ehresmann 1950.
- ^ Koszul 1950.
注釈
- ^ a b 人名「Koszul」を「コシュール」と訳している文献[2][3][4]があるため、「コシュール接続」と読むと思われるが、「コシュール接続」と訳した文献を発見できなかったので本項では「Koszul接続」と表記した。なお、Wikipediaの英語版には「フランス語: [kɔsyl]」とある。
- ^ 接続∇はMの全域で定義されたベクトル場と切断に関するものなので、このような局所的に定義された座標で表示できるか否かは非自明である。しかし∇が「局所演算子」という性質を満たすことにより、局所的な座標で表示可能な事を示すことができる。詳細は接続 (ベクトル束)の項目を参照されたい。
- ^ 成分接続形式といい、ωを接続行列(英: connection matrix)と呼ぶ場合もある[22]。
- ^ 厳密には以下の通りである。Mの曲線に沿って定義された局所的な基底を考え、をに沿って平行移動したものをとして行列を により定義すると、接続形式の定義より、 が成立する。ここでは成分ごとの微分の事である。 ∇が計量と両立すれば、は正規直交基底である。よって が正規直交基底であれば、よりは回転変換であり、の微分は歪対称行列である。
- ^ ここではπ(e)のファイバーの点eにおける接空間であり、包含写像が誘導する写像によりをTeEの部分空間とみなしている。
- ^ a b この「はeに関してC∞級である」というのを厳密に定式化する方法は(同値な方法が)いくつかあるが、一つの方法はをを上のファイバーとするTEの部分ベクトルバンドルとみなし、がTEのC∞級の部分ベクトルバンドルである事を要請するというものである。
- ^ 垂直部分空間の定義よりであるが、はベクトル空間なので、と接空間とは自然に同一視できる。
- ^ なお 、#Salamonではの(標準的とは限らない)基底をからへの線形写像fと自然に同一視し、各に対し、
- ^ #Wendl3の定義は若干曖昧で単に「十分短い曲線」(sufficiently short path)に沿った平行移動がGと両立する自明化(G-compatible connection) for を持つとしか言っていないが、局所自明化可能な領域内の曲線がこのように書ければ十分なので、ここではそのように定義した。
- ^ a b ここでが-線形であるとは、通常の線形性を満たすのみならず関数fに対してを満たす事を指す[53]。-線形である事は、の各点における値がξ、ηの点eにおける値ξe、ηeのみで決まること、すなわちΩが各点における双線形写像のテンソル場とみなせる事と同値である事が知られている[54]。
- ^ #Kolarにおける曲率の定義はここに書いたものと符号が反対だが、#Kolar p.73.にあるように#Kolarの定義だと「通常の曲率と符号が反対」になるので、#Wendl5 p.121の方の符号を採用した。
- ^ #Kolar p.100-101.のみ右辺第二項はとなっているが、これは#Kolarの間違いであると判断した。実際#Kolar p.100の一番下にあるの定義式にを代入するととなり、とはならない。またこの#Kolar p.100の一番下の係数は#森田の1巻のp.95.ではになっているため、#Kolarがの定義式を間違えた可能性が高い。#Tu p.285も参照。
- ^ これはFreeman[65]の立場。ほかには、たとえば岩波数学辞典は後出のレヴィ=チヴィタによる平行移動の発見を接続の概念のはじまりとしている[66]。
- ^ 正確には、現在の言葉でいう捩れのないアフィン接続。
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