分岐 (数学)

ウィキペディア

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 04:44 UTC 版)

ナビゲーションに移動検索に移動

原文と比べた結果、この記事には多数（少なくとも5個以上）の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。

系統的に分岐を図示：Y 上のほとんど全ての点のファイバーは、3個の点から構成される。しかし例外は、Y のドットでマークした 2か所の点では、ファイバーがそれぞれ 1つと 2つの点からなる。写像 f は Y のこれらの点で分岐するといわれる。

複素解析

複素解析では、基本モデルとして、z = 0 の回りの複素平面を写像する z $\to$ zⁿ を取ることができる。これは指数 n の分岐のリーマン面上の標準的な局所描像である。例えば、種数についての写像の有効性についてのリーマン・フルヴィッツの公式で、このようなことが起きる。分岐点 (数学)も参照。

代数トポロジー

被覆写像で、オイラー・ポアンカレ標数は、シートの枚数をかけねばならなく、従って、分岐はかけることにより、落ちてしまうものを見つけねばならない。z $\to$ zⁿ 写像は、局所パターンとしてこれを示している。0 を除外し、言わば 0 < |z| < 1 で見てみると、（ホモトピーの観点より、）n-乗写像はオイラー標数が 0 の円を円自身へ写すし、オイラー標数 1 の円板も写すが、z = 0 で互いに合流する n 毎のシートとして n – 1 個の点は失われてしまう。

幾何学的な項では、分岐は余次元 2（結び目理論のように）やモノドロミーを起こす。実余次元 2 は複素余次元 1 であるので、局所的な複素的な例は、高次元の複素多様体のパターンを作り出す。複素解析では、シートを直線（一変数）に沿って、あるいは、一般的には余次元 1 の部分空間に沿って折り曲げて単純化することができない。分岐集合（上のベース上の分岐軌跡、二重点）は、取り囲んでいる多様体というよりも実次元が 2 次元低くなる。従って、2つの側へは分離しなく、局所的には、例の中にあるように分岐軌跡を追跡する系となる。任意の体上の代数幾何学では、この類似により、代数的な余次元 1 となる。

代数的整数論

Q の代数拡大

「ガロア拡大での素イデアルの分解」も参照

代数的整数論での分岐は、ある素イデアルへの素数の繰り返しの分解を意味する。R を代数体 K の整数環とし、P を R の素イデアルとする。各々の K の体の拡大 L に対し、L の中の T の整閉包 S と S のイデアル PS とを考えることができる。PS は素であるかどうか分からないが、[L:K] を有限とすると、素イデアルの積

P₁^e(1) ⋯ P_k^e(k)

となる。ここに P_i はそれぞれ S の異なる素イデアルである。すると P が L で分岐しているとは、ある i に対して e(i) > 1 であるときとを言う。言い換えると、P が L で分岐するとは、分岐指数 e(i) が 1 より大きな P_i が存在することを言う。全ての i に対して、e(i) = 1 の場合を不分岐と言う。同値な条件としては、S/PS が零でない冪零元を持つことである。べき零元は有限体の積ではない。リーマン面との類似は、19世紀に既にリヒャルト・デーデキント (Richard Dedekind) とハインリッヒ・ウェーバー（英語版） (Heinrich M. Weber) が指摘していた。

分岐は、相対判別式（英語版）(relative discriminant)により K にエンコードされ、相対差イデアル（英語版）(relative different)により L にエンコードされる。相対判別式は K の整数環のイデアルであり、P で割りきれることと、P を割る S のイデアル P_i が存在し分岐することをは同値である。相対差イデアルは L の整数環のイデアルであり、P_i が分岐するとき、S の素イデアル P_i で割り切れる。

分岐指数 e(i) が全て P の標数 p と互いに素であるときを、分岐が順 (tame) と言い、そうでない場合を激 (wild) と言う。この条件はガロア加群の理論に重要である。デデキント整域の有限生成なエタール拡大 B/A が順であることと、トレース Tr: B → A が全射であることとは同値である。

局所体

詳細は「局所体の分岐（英語版）」を参照

数体での分岐のさらに詳しい分析は、局所的な問題であるので、p-進数の拡大を使い進めることができる。局所的な場合には、基本的にはどのくらいガロア群が計量から動くかを問うことで、分岐を測る量がガロア拡大に対して定義される。分岐群 (数学)の列が定義され、とりわけ、暴 (wild) 分岐が具体化される。つまり、幾何学的な類似を超えた意味を持っている。

代数学

詳細は「付値の分岐理論（英語版）」を参照

付値論では、付値の分岐理論（英語版）で、体 K の拡大体への付値の拡大（英語版）の集合を研究する。このことが代数的数論、局所体、デデキント整域での概念へ一般化される。

脚注

^ 事実、有限型スキーム X, Y の射 f: X → Y が (i) エタール射であることと、(ii) f が平坦でかつ相対微分 $\Omega _{X/Y}=0$ であること、(iii) f が平坦かつ不分岐であることの 3つは同値である。スキームの射が、滑らかでかつ相対次元が 0 であることをエタールと言うのであるが、この同値性により不分岐を定義として使用することができる。