ピッチフォーク分岐とは？わかりやすく解説

ピッチフォーク分岐（ピッチフォークぶんき、英語：pitchfork bifurcation）または熊手型分岐は、力学系における分岐の一つ^[1]。分岐図が三叉となり、農具のピッチフォークのように見えることから、ピッチフォーク分岐という名、その日本語訳の熊手型分岐という名で呼ばれる^[2]。この分岐には、超臨界ピッチフォーク分岐 (supercritical pitchfork bifurcation) と亜臨界ピッチフォーク分岐 (subcritical pitchfork bifurcation) の二種類がある^[3]。

超臨界ピッチフォーク分岐

r ∈ R を系のパラメータとすると、1次元常微分方程式の超臨界ピッチフォーク分岐における標準形は、

{\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}

で示される^[4]。r < 0 では x = 0 で安定な平衡点が一つ存在する^[5]。r = 0 では、平衡点 x = 0 は安定だが指数関数的減衰から代数的減衰に変化する^[4]。r > 0 となると、x = 0 は不安定な平衡点となり、 $\pm {\sqrt {r}}$ の二つの安定平衡点が発生する^[5]。この分岐は、フォワード分岐とも呼ばれる^[6]。

亜臨界ピッチフォーク分岐

1次元常微分方程式の亜臨界ピッチフォーク分岐における標準形は、

{\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}-x^{5}

で示される^[7]。この分岐は、逆分岐やバックワード分岐とも呼ばれる^[6]。

出典

脚注

^ 小室 2005, p. 97.
^ 船越 2008, p. 111.
^ 桑村 2015, pp. 100, 102.
^ ^a ^b Strogatz 2015, p. 63.
^ ^a ^b 桑村 2015, p. 99.
^ ^a ^b 桑村 2015, p. 104.
^ 桑村 2015, p. 103.

文献リスト

Steven H. Strogatz、田中久陽・中尾裕也・千葉逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
船越満明、2008、『カオス』初版、朝倉書店〈シリーズ非線形科学入門3〉 ISBN 978-4-254-11613-7
桑村雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論―自発的パターン発生の力学系入門』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11004-5
小室元政、2005、『基礎からの力学系―分岐解析からカオス的遍歴へ』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8

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