超臨界ホップ分岐と亜臨界ホップ分岐
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/11 16:01 UTC 版)
「ホップ分岐」の記事における「超臨界ホップ分岐と亜臨界ホップ分岐」の解説
ホップ分岐も、ピッチフォーク分岐と同様に、超臨界と亜臨界の二種類がある。リミットサイクルは、第一リアプノフ係数（the first Lyapunov coefficient）と呼ばれる値が負ならば軌道安定であり、このとき分岐は超臨界である。第一リアプノフ係数が負でないならば、リミットサイクルは不安定であり、分岐は亜臨界である。 ホップ分岐の正準系（英語版）は、 d z d t = z ( ( λ + i ) + b | z | 2 ) , {\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),} である。ここで、z , b は複素数 、 λ {\displaystyle \lambda } はパラメーターである。b を、 b = α + i β . {\displaystyle b=\alpha +i\beta .\,} と表すとき、 α {\displaystyle \alpha } を第一リアプノフ係数と呼ぶ。 α {\displaystyle \alpha } が負ならば、λ > 0 に対する次の安定なリミットサイクルが存在する： z ( t ) = r e i ω t {\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}\,} ここで r = − λ / α and ω = 1 + β r 2 {\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}{\text{ and }}\omega =1+\beta r^{2}\,} である。このときの分岐は超臨界と呼ばれる。 α {\displaystyle \alpha } が正ならば、λ < 0 に対するある不安定なリミットサイクルが存在する。このときの分岐は亜臨界と呼ばれる。 ホップ分岐は、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応などで起こる。
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