分岐 (数学) 代数幾何学

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分岐 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 04:44 UTC 版)

代数幾何学

代数幾何学では以下に定義する不分岐射(unramified morphism)の考え方があり、エタール射を定義するために役立つ。

スキーム $Y$ の中の点 $y$ に対し、対応する局所環の射

$f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}$

を考える。${\mathfrak {m}}$ を ${\mathcal {O}}_{X,f(y)}$ の極大イデアルとし、

${\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}$

を ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ の中の ${\mathfrak {m}}$ の像により生成されたイデアルとする。射 $f$ が不分岐とは、局所的に有限型で、かつ、$Y$ のすべての $y$ に対し、${\mathfrak {n}}$ が ${\mathcal {O}}_{Y,y}$ の極大イデアルであり、誘導された写像

${\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}$

が有限次拡大で分離拡大である場合を言う。この考え方は、代数的整数論での不分岐拡大の幾何学バージョン（一般化）である。

$f:X\to Y$ をスキームの射とする。準連接層 $\Omega _{X/Y}$ の台（サポート）を $f$ の分岐軌跡(ramification locus)と呼び、分岐軌跡の像 $f\left(\mathrm {Supp} \Omega _{X/Y}\right)$ を $f$ のブランチ軌跡(branch locus)と呼ぶ。$\Omega _{X/Y}=0$ であれば、$f$ は形式的に不分岐(formally unramified)と言い、$f$ も局所有限表現であれば、$f$ は不分岐であるという[ヴァキル (Vakil) のノートを参照]。