交代行列

ウィキペディア

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/13 23:44 UTC 版)

対応する双線型形式

「双線型形式#対称性、歪対称性および交代性」も参照

任意の体 $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間 $V$ において、 $V$ の基底を固定すれば、 $V$ 上の双線型形式 $φ$ は適当な $n$ 次正方行列 $A$ によって $φ (v, w) := v ⊤ Aw$ と表されることを思い出そう。

$V$ 上の双線型形式 $φ : V \times V \to K$ が

交代形式であるとは、非零ベクトル $v$ を任意として交代性： $φ (v, v) = 0$ を満たすことを言う。
歪対称形式であるとは、ベクトル $v, w$ を任意として歪対称性： $φ (v, w) = - φ (w, v)$ を満たすことを言う。

$V$ 上の交代形式（resp.歪対称形式）は、基底を一つ固定すれば、交代行列（resp.歪対称行列） $A$ を用いて上記の形に表され、逆に $K n$ 上の交代行列（resp.歪対称行列） $A$ は交代形式（resp.歪対称形式） $(v, w) \mapsto v ⊤ Aw$ を定める^{[注釈 1]}。

$A$ が交代的ならば、任意の実ベクトル $x$ に対して $x ⊤ Ax = 0$ が成り立つ。実際、 $x ⊤ Ax$ はスカラー値ゆえ転置と自身とが一致するが、同時に積の転置法則と $A$ の交代性から

x^{\top }Ax=(x^{\top }Ax)^{\top }=x^{\top }A^{\top }x=-x^{\top }Ax

が成り立つ。またこの逆も成り立つ。実際、 $A$ が交代的でないならばその対称成分が $0$ でない固有値 $λ$ を持ち、 $λ$ に属する正規化された固有ベクトルを $v$ とすれば $v ⊤ Av = λ$ が成立する。

注

注釈

^ ^a ^b ^c 本項において（何も言わなければ）、係数体の標数は $2$ でない ( $1 + 1 \neq 0$ ) と仮定する。標数が $2$ のとき、任意のスカラーは自身を反数として持つので、任意の歪対称行列は対称行列の概念に一致する。歪対称行列に付随する双線型形式は歪対称形式であり、標数 $2$ のときは対称形式になる。一方、付随する双線型形式が交代形式であるような行列を「交代行列」と呼べば、標数 $2$ のとき「交代行列」は歪対称（=対称）行列と異なる。
^ 標数が $2$ の体上では $1 ⁄ 2$ -倍写像が定義されないから、対称成分・歪対称成分ともこれでは定義できない。以下は標数が $2$ でない任意の体上で成り立つ議論であることに注意せよ。

出典

^ Reyment, Jöreskog & Marcus 1996, p. 68.
^ Eves 1980.
^ Cayley, Arthur (1847). “Sur les determinants gauches [On skew determinants]”. Crelle's Journal 38: 93-96. Reprintend in Cayley, A. (2009). “Sur les Déterminants Gauches”. The Collected Mathematical Papers. 1. p. 410. doi:10.1017/CBO9780511703676.070. ISBN 978-0-511-70367-6
^ 佐武 1974, p. 81.
^ 佐武 1974, p. 189.
^ Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2001). "Cluster algebras I: Foundations". arXiv:math/0104151v1。