二項係数

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二項係数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/13 01:12 UTC 版)

二項係数の全体をパスカルの三角形の形に並べることができる。

4つの数から2つの数を選ぶ方法は ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}$

四次までの二項展開の視覚的説明

数学における二項係数（にこうけいすう、英: binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は2つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう (n
k) とか (n¦k) と書かれる（これは二項冪 (1 + x)ⁿ の展開における x^k の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は ${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

パスカルの三角形の第1000 行に並ぶ二項係数を縦に並べたもの。各二項係数を十進表示し、その各桁の数字を0-9に応じたグレイスケールの点で表してある。画像の左の境界は二項係数の対数グラフにほぼ対応しており、これらが対数凹列（英語版）であることが見て取れる。

詳細は「パスカルの三角形」を参照

パスカルの法則（英語版）は重要な漸化式

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}},}$

2次元格子上の経路の例

等式 (10) も組合せ論的に証明できる。(n − k
k) は、2次元格子上で (0, 0) から (k, n − k) まで、(0, 1) または (1, 1) 刻みで移動して辿った経路の総数を表す。そのことは全部で n − k 個の点を亙るために必ずちょうど k 回だけ (1, 1) 刻みの移動をしなければならないのだから明らかである。さてここでちょうど k 個ある (1, 1) 刻みを (0, 2) 刻みで置き換えると、(0, 1) 刻みと (0, 2) 刻みを合わせて (0, n) へ到達することになる。これを 0 ≤ k ≤ ⌊n / 2⌋ なる各 k に亙って考えれば、(0, 0) から (0, 1) 刻みと (0, 2) 刻みを合わせて (0, n) へ到達する方法の総数が数え上げられる。そのような方法の総数が F(n + 1) 通りあることは明らかである。

ディクソンの等式

ディクソンの等式（英語版）は

${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\dbinom {2a}{k+a}}^{3}={\dfrac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}$