乗法列の種数乗法列の種数の概要

定義

種数(genus) φ は、各々の多様体 X に次の項目を満たす数値 φ(X) を対応させる。

φ(X∪Y) = φ(X) + φ(Y) (ここに ∪ は合併を表す)
φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
X が境界であれば、φ(X) = 0

多様体は特別な構造を持っているかもしれず、例えば、向きづけられているとか、スピンを持っているなどの構造が考えられる（コボルディズム論のリスト(list of cobordism theories)を参照すると多くの例があります）。数値 φ(X) はある環の中にあり、環はZ/2Zであったり、他のモジュラ形式の環であったりするが、環は有理数であることが多い。

φ の条件は、（与えられた構造を持つ）多様体のコボルディズム環から他の環への環準同型であるということにより、再度、定義し直すとこができる。

例：φ(X) が向きづけられた多様体 X の符号（英語版）(signature)、φ は整数の環への向きづけられた多様体からの種数である。

形式的べき級数の種数

詳細は「乗法列（英語版）」を参照

$p 1, p 2, \dots$ を変数とする多項式列 $K 1,, K 2, \dots$ が乗法的(multiplicative) とは、

1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\dots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )

ならば

\Sigma K_{j}(p_{1},p_{2},\cdots )z^{j}=\Sigma K_{j}(q_{1},q_{2},\cdots )z_{j}\Sigma K_{k}(r_{1},r_{2},\cdots )z_{k}

を満たすことを言う。 $z$ を変数とする形式的冪級数 $Q (z)$ が定数項 1 を持つとき、乗法列

K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots

を

K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots

と置くことによって定義できる。ここに $p k$ は、不定元 $z i$ たちの $k$ -次基本対称函数（英語版）（基本対称式）である。 $X$ が向きの付いた多様体で、 $p k$ を $X$ のポントリャーギン類とするとき、 $Q$ に対応する向きづけられた多様体の種数 $φ$ が、

\varphi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )

で与えられる。このとき冪級数 $Q$ は種数 $φ$ の特性冪級数 (characteristic power series)と呼ぶ。トムの定理「有理数環とコボルディズム環とのテンソル積は、正整数 $k$ に対する次数 $4 k$ の生成元を変数とする多項式環である」から、先の対応によって先頭項（つまり定数項）が 1 の有理係数形式的冪級数 $Q$ と向きの付いた多様体の有理数値種数が一対一に対応することがわかる。

L-種数とヒルツェブルフの符号定理

L-種数(L genus)は形式的べき級数

{{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{2^{2k}B_{2k}z^{k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots

の種数であり、ここに $B_{2k}$ はベルヌーイ数である。

いくつかの最初の項を挙げると、

$L_{0}=1$
$L_{1}=p_{1}/3$
$L_{2}=(7p_{2}-p_{1}^{2})/45.$

ここで、M をポントリャーギン類 $p_{i}=p_{i}(M)$ を持つ閉じた向き助可能で滑らかな次元 4n の多様体とする。フリードリッヒ・ヒルツェブルフは、M の基本類 $[M]$ を評価した次元 4n の多様体のL-種数は、 $\sigma (M)$ に等しく、M の符号（英語版）（つまり、M の 2n 番目のコホモロジー群の上の交叉形式の符号）

\sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\dots ,p_{n}(M)),[M]\rangle

である。この定理が、ヒルツェブルフの符号定理(Hirzebruch signature theorem)（もしくは、ヒルツェブルフの指数定理(Hirzebruch index theorem))として知られている。ルネ・トム(René Thom)は、これに先立ち、符号がポントリャーギン類の線型結合で与えられることを証明し、ヒルツェブルフは上記の線型結合で正確な公式が得られることを発見した。

L_2 が滑らかな多様体に対して常に整数であるという事実は、ジョン・ミルナー(John Milnor)の微分可能構造（英語版）を持たない 8 次元のPL多様体（英語版）の例を与えることを使って示すことができる。ポントリャーギン数が、PL多様体に対しても定義することができる。ミルナーは、このPL多様体は p₂ の値が非整数の値を持つことを示し、従って、滑らかな多様体ではありえないことを示した。

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