乗法列の種数 トッド種数

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乗法列の種数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/29 03:31 UTC 版)

トッド種数

トッド種数(Todd genus)は、形式的べき級数

${\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {1}{2}}z+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i+1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}z^{2i}$

の種数であり、上に示したように B_2k はベルヌーイ数である。最初のいくつかの値を示すと

• $Td_{0}=1$
• $Td_{1}=c_{1}/2$
• $Td_{2}=(c_{2}+c_{1}^{2})/12$
• $Td_{3}=(c_{1}c_{2})/24$
• $Td_{4}=(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4})/720$

となる。トッド種数は、すべての複素射影空間に対して数値 1 を対応させる（つまり、 $\mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1$)という性質を持っていて、このことは、複素射影空間の算術種数が値 1 でもあるように、トッド種数は代数多様体の算術種数の値が 1 に一致していることを示すに充分である。この見方は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の結果であり、実際、この定理により定式化された重要な発展の一つである。