乗法列の種数 Â 種数

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乗法列の種数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/29 03:31 UTC 版)

 種数

 種数( genus)は、次の式の特性べき級数(characteristic power series)に関連する種数である。

$Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \sinh({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/5760-\cdots .$

（特性級数 Q(16z) に関連する Â 種数もあるが、あまり使われない。）最初の数項の値は、

• ${\hat {A}}_{0}=1$
• ${\hat {A}}_{1}=-p_{1}/24$
• ${\hat {A}}_{2}=(-4p_{2}+7p_{1}^{2})/5760.$

である。スピン多様体の Â 種数は整数であり、次元が 4 mod 8 であれば、偶数である（このことは次元 4 の場合のロホリンの定理を含んでいる。一般の多様体に対しては、Â 種数はいつも整数とは限らない。このことはヒルツェブルフとボレル(Armand Borel)により証明された。この双方の結果を動機として、後日のアティヤ・シンガーの指数定理が考えられ、さらに説明付けられる。アティヤ・シンガーの定理は、スピン多様体の Â 種数とディラック作用素の指数が等しいことを示している。

ディラック（作用素）のラプラシアンに対するワイツェンボックの公式(Weitzenbock formula)とこの結果を組み合わせ、リヒネロヴィッツ(Lichnerowicz)は、コンパクトスピン多様体が正のスカラー計量を持つときには、Â 種数はゼロにならねばならないことを証明した。このことは、単に次元が 4 の倍数のときの正のスカラー曲率のための障害を与えただけにとどまらず、後日、ヒッチン(Hitchin)は次元が 1 もしくは 2 mod 8 のとき、これと類似した ${\mathbb {Z} }_{2}$ に値を持つ障害を発見した。これらの結果は、本質的な結果である。事実、グロモフ(Gromov)、ローソン(Lawson)、ストルツ(Stolz)は、Â 種数とヒッチンの ${\mathbb {Z} }_{2}$ に値を持つ類似物は、5 を含むそれ以上の次元の単連結なスピン多様体上の正のスカラー曲率の存在のための障害であることを証明した。