ビュフォンの針
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/15 03:03 UTC 版)
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ビュフォンの針（ビュフォンのはり、英: Buffon's needle problem）は18世紀の博物学者ジョルジュ＝ルイ・ルクレール、コント・ド・ビュフォンが提起した数学上の問題である。
もし床に多数の平行線を引き、そこに針を落すならば、どれかの線と針が交差する確率はどのようになるかという問題である。
積分と幾何学を使ってこの問題は解け、またこの方法を使って、モンテカルロ法で円周率の近似値を求められる。
解法
この問題を数学的に表現すると以下のようになる: 長さ 
ビュフォンの針
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/01 10:15 UTC 版)
詳細は「ビュフォンの針」を参照 平行線が無限に、等間隔に引かれているとし、長さが平行線間の距離以下である針をランダムに投げる。針が着地したとき、平行線と交わる確率はいくらか？ これを解くのに、 l {\displaystyle l} を針の長さ、 D {\displaystyle D} を平行線間の距離とする。また θ {\displaystyle \theta } を針の向きと平行線群の法線方向がなす鋭角、 x {\displaystyle x} を針の中点と最も近い平行線との距離とする。針が平行線と交わるための条件は x < l cos θ 2 {\displaystyle x<{\frac {l\cos \theta }{2}}} である。 ここで x , θ {\displaystyle x,\theta } はそれぞれ一様分布に従う確率変数で、標本空間は横と縦の辺長が D 2 {\displaystyle {\frac {D}{2}}} と π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} の長方形とする。 針が平行線と交わるという事象は、標本空間が x = l 2 cos θ {\displaystyle x={\frac {l}{2}}\cos \theta } で表される曲線で切り取られる左側の部分で表せる。この面積は Area (event) = ∫ 0 π 2 l 2 cos θ d θ = l 2 sin π 2 − l 2 sin 0 = l 2 {\displaystyle {\text{Area (event)}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {l}{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {l}{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}-{\frac {l}{2}}\sin 0={\frac {l}{2}}} 標本空間の面積は Area (sample space) = D 2 × π 2 = D π 4 {\displaystyle {\text{Area (sample space)}}={\frac {D}{2}}\times {\frac {\pi }{2}}={\frac {D\pi }{4}}} よって、この事象の起こる確率は P = Area (event) Area (sample space) = l 2 4 D π = 2 l π D {\displaystyle P={\frac {\text{Area (event)}}{\text{Area (sample space)}}}={\frac {l}{2}}{\frac {4}{D\pi }}={\frac {2l}{\pi D}}}
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