場合分け1: 針が短い場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/10 15:37 UTC 版)
「ビュフォンの針」の記事における「場合分け1: 針が短い場合」の解説
t ≥ l {\displaystyle t\geq l} の場合、針と線が交差する確率は P = ∫ θ = 0 π 2 ∫ x = 0 ( l / 2 ) sin θ 4 t π d x d θ = 2 l t π . {\displaystyle P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{(l/2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.} となる。 この式を用いてシミュレーションによって円周率の近似値を求めることができる（モンテカルロ法）。針を n {\displaystyle n} 回落としたときに針と線が h {\displaystyle h} 回交差したとすると h n ∼ 2 l t π , {\displaystyle {\frac {h}{n}}\sim {\frac {2l}{t\pi }},} であったということなので π {\displaystyle \pi } の値は π ∼ 2 l n t h . {\displaystyle \pi \sim {\frac {2{l}n}{th}}.} で近似できる。
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