場合分け2: 針が長い場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/10 15:37 UTC 版)
「ビュフォンの針」の記事における「場合分け2: 針が長い場合」の解説
t < l {\displaystyle t<l} の場合、針と線が交差する確率は ∫ θ = 0 π 2 ∫ x = 0 m ( θ ) 4 t π d x d θ {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta } となる。ここで m ( θ ) {\displaystyle m(\theta )} は ( l / 2 ) sin θ {\displaystyle (l/2)\sin \theta } と t / 2 {\displaystyle t/2} の最小値である。 上の積分を行うと t < l {\displaystyle t<l} のとき、針と線が交差する確率は、 2 l t π − 2 t π { l 2 − t 2 + t sin − 1 ( t l ) } + 1 {\displaystyle {\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left\{{\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\sin ^{-1}\left({\frac {t}{l}}\right)\right\}+1} または 2 π cos − 1 t l + 2 π l t { 1 − 1 − ( t l ) 2 } . {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\cos ^{-1}{\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}{\frac {l}{t}}\left\{1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right\}.} となる。 2つ目の式において、1番目の項は針が常に少なくとも1つの線と交差するような角度で落ちる確率を表す。2番目の項は位置によっては交差しない可能性のある角度で落ちたときに針と線が交差する確率を表す。
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