アルティン相互法則 重要性

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アルティン相互法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/11 16:01 UTC 版)

重要性

アルティン相互法則は大域体 K の絶対ガロア群のアーベル化をハッセの局所・大域原理やフロベニウス元に基づいて記述するというものである。高木の存在定理とあわせることで K のアーベル拡大のようすや、そこでの素数の振る舞いを理解することができる。従って、アルティン相互法則は、大域類体論の主要な定理のひとつである。アルティン相互法則は、アルティンのL-函数が有理型であることの証明や、チェボタレフの密度定理の証明に使われる。

アルティンは、一般相互法則の出版の 2 年後、シューアの移送準同型を再発見した。相互法則を用いることにより、代数体のイデアル類の単項化問題を、有限非アーベル群の移送準同型の核を決定するという群論の問題に翻訳した。

大域体の有限次拡大

アルティン写像は、素イデアルとフロベニウス元を用いて具体的に記述される。

${\mathfrak {p}}$ を K の素イデアルとすると、${\mathfrak {p}}$ 上の素イデアル ${\mathfrak {P}}$ の分解群は、ガロア群がアーベル的であるので ${\mathfrak {P}}$ のとりかたによらず Gal(L/K) において等しい。${\mathfrak {p}}$ が L で不分岐であれば、分解群 $D_{\mathfrak {p}}$ は、剰余体 ${\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}$ の拡大 ${\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}$ のガロア群に標準的に同型である。従って、$\mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}$ もしくは $\left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)$ と書かれる Gal(L/K) のフロベニウス元を剰余体のガロア群のフロベニウス元のもちあげとして標準的に定義することができる。Δ で L/K の相対判別式(relative discriminant)表すとする。L/K のアルティン記号（あるいは、アルティン写像、大域相互写像）は、上のフロベニウス元の定義を線型に拡張したものとして素イデアルと Δ の分数イデアル群 $I_{K}^{\Delta }$ の上に定義される。

${\begin{matrix}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):&I_{K}^{\Delta }&\longrightarrow &\mathrm {Gal} (L/K)\\&\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}}&\mapsto &\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}.}\end{matrix}}$

アルティン相互法則 (もしくは大域相互法則) は、K の モジュラス c が存在し、アルティン写像が同型

$I_{K}^{\mathbf {c} }/\iota (K_{\mathbf {c} ,1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{{}\to {}}}\operatorname {Gal} (L/K)$

を引き起こすという法則である。ここに K_c,1 は c を法とする射線全体、${\textstyle \iota :K^{\times }\to I_{K}}$は単項分数イデアルに送る写像、N_L/K は L/K に付随するノルム写像、I c
L  は L の c と素な分数イデアルである。そのようなモジュラス c は L/K の定義モジュラスと呼ばれる。最小な定義モジュラスを L/K の導手といい、典型的には ${\textstyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ と書く。

例

二次体

$d\neq 1$ を平方因子を持たない整数とし、K = Q、$\scriptstyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ とすると、ガロア群 Gal(L/Q) は {±1} と同一視される。Q 上の L の判別式 Δ は、d ≡ 1 (mod 4) ならば d、そうでないならば 4d となる。従って、アルティン写像はΔ を割らないような素数 p にたいし

$p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)$

と定義される。ここに $\left({\frac {\Delta }{p}}\right)$ はクロネッカーの記号(Kronecker symbol)である。さらに具体的には、L/Q の導手は、Δ が正ならば (Δ)、負であれば (Δ)∞ であり、分数イデアル群 (n) 上のアルティン写像はクロネッカーの記号 $\left({\frac {\Delta }{n}}\right)$ により与えられる。このことから、素数 p が L で分解するか否かは、$\left({\frac {\Delta }{p}}\right)$ が 1 であるか、−1 であるかに従う。

円分体

m (>1) を奇数かもしくは、4 の倍数とし、ζ_m を 1の原始 m乗根とし、L = Q(ζ_m) を m次の円分体とする。ガロア群 Gal(L/Q) は (Z/mZ)^× と次の写像によって同一視することができる。σを

$\sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.$

により与えられる a_σ にうつす。L/Q の導手は (m)∞ であり、 m と素なイデアル (n) 上のアルティン写像は、単純に (Z/mZ)^× の元 n (mod m) である。

平方剰余の相互法則との関係

p と ℓ を異なる奇素数とし、ℓ* = (−1)^(ℓ−1)/2ℓ (いつも 1 (mod 4) である) とする。二次相互法則とは

$\left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right)$

なる関係のこと。二次相互法則とアルティン相互法則の関係は、次のように、二次体 $\scriptstyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {\ell ^{\ast }}})$ と円分体 $\scriptstyle L=\mathbf {Q} (\zeta _{\ell })$ を研究することで得られる。この F は L の部分体である。H = Gal(L/F) および G = Gal(L/Q) とすると、Gal(F/Q) = G/H である。G/H は位数が 2 であるので、部分群 H は G=(Z/ℓZ)^× において平方元全体のなす部分群である。アルティン記号の基本的性質により、ℓと素なイデアル (n) に対し、

$\left({\frac {F/\mathbf {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbf {Q} }{(n)}}\right){\text{ (mod }}H).$

となることがわかる。とくに n = p とすると、$\left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=1$ であることと、H の中で p (mod ℓ) であること、すなわち、p は modulo ℓ で二乗であることが同値であることがわかる。

コホモロジー的解釈

大域相互法則のコホモロジー的な証明は、まず

$(\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})$

がアルティン・テイトの意味で類構造を成すことを確かめることで達成される。そうすれば、

${\hat {H}}{}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}{}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} )$

が証明される。ここに ${\hat {H}}{}^{i}$ はテイトコホモロジー群を表す。コホモロジー群の計算により θ が同型であることが確かめられる。