むげん‐だい【無限大】
無限大
無限大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 08:53 UTC 版)
記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）で表す。
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無限大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)
前掲の S∗ の任意の部分集合から構成規則によって生成される超現実数全体の成す集合を Sω とする（順序数 ω は任意の自然数より大きい最小の順序数であるから、帰納ステップは前と同じ形に書けるが、そこに現れる合併集合は有限集合の無限合併が許されることになるので、そのような合併操作が展開できる集合論をとらなければならないことに注意する）。Sω は無限に大きい超現実数 ω := { S ∗ ∣ } = { 1 , 2 , 3 , 4 , … ∣ } {\displaystyle \omega :=\{S_{*}\mid {}\}=\{1,2,3,4,\dotsc \mid {}\}} をただ一つだけ含む。また、Sω は（二進とは限らない任意の）有理数に同一視することのできる対象を含んでいる。例えば、分数 1/3 の ω-完全 (ω-complete) な形式は 1 3 = { y ∈ S ∗ [ 3 y < 1 ] ∣ y ∈ S ∗ [ 3 y> 1 ] } {\textstyle {\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}[3y<1]\mid y\in S_{*}[3y>1]\}} で与えられる。1/3 の代表元をこの形式とし、3 を表す任意の形式との積をとった形式は、その左集合に 1 より小さい数のみ属し、その右集合に 1 より大きい数のみが属するから、誕生日性質によりこの積は 1 を表す形式であることが従う。それ以外のすべての有理数が Sω において生じるが、それだけではなく有理数でない任意の有限実数もまた同様に生じる。例えば π = { 3 , 25 8 , 201 64 , … ∣ 4 , 7 2 , 13 4 , 51 16 , … } {\displaystyle \pi =\{3,{\tfrac {25}{8}},{\tfrac {201}{64}},\dotsc \mid 4,{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {13}{4}},{\tfrac {51}{16}},\dotsc \}} である。 Sω に属する無限大超現実数は ω および −ω だけだが、Sω には任意の実数の間にもほかの種類の非実数が存在している。Sω における最小の正の数は ε := { S − ∪ S 0 ∣ S + } = { 0 ∣ 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , … } = { 0 ∣ y ∈ S ∗ [ y > 0 ] } {\displaystyle \varepsilon :=\{S_{-}\cup S_{0}\mid S_{+}\}=\{0\mid 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\dotsc \}=\{0\mid y\in S_{*}[y>0]\}} によって考えることができる。これは 0 より大きいが、任意の正の二進分数よりも小さいことを意味する数であるから、これは無限小超現実数である（無限小はよく ε と書かれる）。ε (resp. −ε) の ω-完全形式は、0 を表す ω-完全形式の左集合 (resp. 右集合) に 0 を含めることで得られる。Sω に属する「純」無限小は ε およびその反数である −ε だけである。それらと任意の二進分数 y を加えて得られる超現実数 y ± ε もまた Sω に入る。 この ω と ε の間の関係を、それらを表す特定の形式を掛け合わせた ω ⋅ ε = { ε ⋅ S + ∣ ω ⋅ S + + S ∗ + ε S ∗ } {\displaystyle \omega \cdot \varepsilon =\{\varepsilon \cdot S_{+}\mid \omega \cdot S_{+}+S_{*}+\varepsilon S_{*}\}} から決定できる。ただし、この式は Sω2 までの超限帰納法が意味を為す集合論でないときちんと定義できないことに注意すべきであるが、そのような系の中では、ω⋅ε の左集合の元の全体が正の無限小であること、および右集合の元の全体が正の無限大であることが示され、したがって ω⋅ε は最も古い（つまり、最も誕生日の小さい）正の有限数、すなわち 1 に等しい。ゆえに 1 ε = ω {\displaystyle {1 \over \varepsilon }=\omega } が帰結される。文献によっては、本項では ε と書いたものを表す記号として、体系的に ω−1 を使っているものもある。
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