単調写像
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単調写像（たんちょうしゃぞう、英: monotonic map, monotone map）または単調関数（たんちょうかんすう、英: monotonic function, monotone function）は、単調性、すなわち順序集合の間の写像が順序を保つような性質を持つ写像のことである。具体的な例としては以下の増加関数および減少関数がある。
増加（ぞうか、英: increasing ）または単調増加(たんちょうぞうか、英: monotonically increasing)とは、狭義には実数の値を持つ関数 f が、x が大きくなるつれて常に関数値 f(x) が大きくなることをいい、このような性質を持つ関数を増加関数（ぞうかかんすう、英: increasing function ）または単調増加関数 (たんちょうぞうかかんすう、英: monotonically increasing function)と呼ぶ。
同様に、引数 x が大きくなるにつれて関数値 f(x) が常に小さくなることを減少（げんしょう、英: decreasing ）または単調減少 (たんちょうげんしょう、英: monotonically decreasing function)といい、そのような性質を持つ関数を減少関数（げんしょうかんすう、英: decreasing function ）または単調減少関数 (たんちょうげんしょうかんすう、英: monotonically decreasing function)と呼ぶ。ある関数が増加または減少する性質をまとめて単調性（たんちょうせい、英: monotonicity）と呼ぶ。単調性を満たす写像を単調写像と呼ぶ。
連続な増加関数 f(x) を縦軸、その引数 x を横軸にとったグラフ上の曲線は常に右上りで、右下がりになっている部分がない。逆に減少関数の場合には、常に右下がりであり右上がりの部分がない。
単調性
広義と狭義
実数から実数への関数 
単調関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/12 21:53 UTC 版)
劣モジュラ関数 f {\displaystyle f} が全ての S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} に対して f ( S ) ≤ f ( T ) {\displaystyle f(S)\leq f(T)} を満たすとき単調と呼ぶ。以下、単調関数の例である。 線形関数 f ( S ) = ∑ i ∈ S w i {\displaystyle f(S)=\sum _{i\in S}w_{i}} という形で表せる全ての集合関数。 この場合、 ∀ i , w i ≥ 0 {\displaystyle \forall i,w_{i}\geq 0} なら単調。 バジェット加法型関数 f ( S ) = min ( B , ∑ i ∈ S w i ) {\displaystyle f(S)=\min \left(B,\sum _{i\in S}w_{i}\right)} という形で表せる関数のうち、 w i ≥ 0 , B ≥ 0 {\displaystyle w_{i}\geq 0,B\geq 0} を満たす関数。 被覆関数 集合 Ω = { E 1 , E 2 , … , E n } {\displaystyle \Omega =\{E_{1},E_{2},\ldots ,E_{n}\}} が何らかの元集合 Ω ′ {\displaystyle \Omega '} の部分集合族であるとする。これに対して、 f ( S ) = | ⋃ E i ∈ S E i | {\displaystyle f(S)=|\bigcup _{E_{i}\in S}E_{i}|} for S ⊆ Ω {\displaystyle S\subseteq \Omega } という形で表せる関数。 エントロピー関数 ( Ω {\displaystyle \Omega } は確率変数の集合) 任意の S ⊆ Ω {\displaystyle S\subseteq \Omega } に対して、 S {\displaystyle S} のエントロピーを返すような関数 H ( S ) {\displaystyle H(S)} 。 マトロイド階数関数 ( Ω {\displaystyle \Omega } はマトロイドの台集合) マトロイドの階数関数は劣モジュラ関数。
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