n次元版
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/03 17:20 UTC 版)
ヘロンの公式のn次元版はCayley-Menger Determinantとして知られている。 n次元版ヘロンの公式(Cayley-Menger Determinant) ― n次元単体の体積 V {\displaystyle V} は、 n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} 辺の長さによって次のように書かれる。 V 2 = ( − 1 ) n + 1 2 n ( n ! ) 2 | 0 d 12 2 ⋯ d 1 ( n + 1 ) 2 1 d 21 2 0 ⋯ d 2 ( n + 1 ) 2 1 ⋯ d ( n + 1 ) 1 2 d ( n + 1 ) 2 2 ⋯ 0 1 1 1 ⋯ 1 0 | {\displaystyle V^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}(n!)^{2}}}\left|{\begin{array}{ccccc}0&{d_{12}}^{2}&\cdots &{d_{1(n+1)}}^{2}&1\\{d_{21}}^{2}&0&\cdots &{d_{2(n+1)}}^{2}&1\\&&\cdots &&\\{d_{(n+1)1}}^{2}&{d_{(n+1)2}}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&\cdots &1&0\end{array}}\right|} ただし、 d i j {\displaystyle d_{ij}} は頂点 i = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n+1} と頂点 j = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 {\displaystyle j=1,2,\cdots ,n+1} を結ぶ辺の長さ。
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