n粒子状態
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/09 10:12 UTC 版)
数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 |Ψ⟩ν は1粒子基底状態 |Ψi⟩ から成る。 | Ψ ⟩ ν = | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ n ⟩ ν {\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }} N i ^ = d e f a ^ † ( ϕ i ) a ^ ( ϕ i ) {\displaystyle {\hat {N_{i}}}{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})} N i ^ | Ψ ⟩ ν = N i | Ψ ⟩ ν {\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }} 証明 a ^ ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , … , ϕ n ⟩ ν = N i | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ i − 1 , ϕ i + 1 , … , ϕ n ⟩ ν a ^ † ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ i − 1 , ϕ i + 1 , … , ϕ n ⟩ ν = N i | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , … , ϕ n ⟩ ν {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{aligned}}} N i ^ | Ψ ⟩ ν = a ^ † ( ϕ i ) a ^ ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , … , ϕ n ⟩ ν = N i a ^ † ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ i − 1 , ϕ i + 1 , … , ϕ n ⟩ ν = N i N i | ϕ 1 , ϕ 2 , … , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , … , ϕ n ⟩ ν = N i | Ψ ⟩ ν {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&={\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\end{aligned}}}
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