エルゴード定理とは？ わかりやすく解説

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エルゴード定理

読み方：えるごーどていり
【英】：ergodic theorem


定常な離散時間確率過程 \{ X_n \} \, が有限な平均値をもつならば, 確率1で


\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mbox{E}(X_1|\mathcal{G}) \,


が成り立つ. ここで, \mathcal{G} \, は \{ X_n \} \, のずらしに関する不変事象の \sigma \, -集合体である. この結果を, (離散時間)エルゴード定理と呼ぶ. 特に、 \{ X_n\} \, がエルゴード的ならば右辺は \mbox{E}(X_1) \, となる。連続時間確率過程についても同様である。

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