Uniform convergence

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一様収束

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/02 15:21 UTC 版)

数学の一分野である解析学において、一様収束（いちようしゅうそく、英: uniform convergence）とは、各点収束よりも強い収束概念である。関数列 (f_n) が極限関数 f に一様収束する (converge uniformly) とは、f_n(x) が f(x) へ収束する速さが x に依らないということである。

連続性やリーマン可積分性といった性質は、一様収束極限には引き継がれるが、各点収束極限に引き継がれるとは限らない。これは一様収束の重要性を浮かび上がらせている。

定義

S を集合とし、各自然数 n に対し f_n : S → R を実数値関数とする。関数列 (f_n)_n∈N が極限 f: S → R に一様収束するとは、任意の ε > 0 に対し、ある自然数 N が存在して、すべての x ∈ S とすべての n ≥ N に対して |f_n(x) − f(x)| < ε が成り立つことである。

一様ノルム $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in S}|f(x)|$

定理における一様収束の代わりに各点収束を仮定した強い主張に対する反例。連続な緑色の関数 $\sin ^{n}(x)$

この節の加筆が望まれています。 （2019年7月）

概一様収束

関数の定義域が測度空間 E であれば、関連概念である概一様収束 (almost uniform convergence) が定義できる。関数列 (f_n) が E 上概一様収束するとは、すべての δ > 0 に対して、測度が δ よりも小さい可測集合 E_δ が存在して、関数列 (f_n) が E − E_δ 上一様収束することである。言い換えれば、概一様収束は、補集合上関数列が一様収束になるようないくらでも小さい測度の集合が存在することを意味する。

列の概一様収束は、名前から誤って予想されるかもしれないが、列がほとんどいたるところ一様収束することを意味するわけではないことに注意する。

エゴロフの定理は測度有限の空間上ほとんどいたるところ収束する関数列は同じ集合上概一様収束もすることを保証する。

概一様収束ならばほとんどいたるところ収束および測度収束である。

関連項目

• Modes of convergence (annotated index)
• ディニの定理

参考文献

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• William Wade, An Introduction to Analysis , 3rd ed., Pearson, 2005

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Uniform convergence", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Uniform convergence - PlanetMath.org（英語）
• Limit point of function - PlanetMath.org（英語）
• Converges uniformly - PlanetMath.org（英語）
• Convergent series - PlanetMath.org（英語）
• Graphic examples of uniform convergence of Fourier series from the University of Colorado