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極限集合

(Limit set から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/28 10:05 UTC 版)

集合列の極限については「上極限と下極限」をご覧ください。

力学系における極限集合（きょくげんしゅうごう、英: Limit set ）は、軌道の集積点の集合である。時間正方向についてのω 極限集合と時間負方向についてのα 極限集合があり、これらを総称して極限集合という。位相力学系の基礎を築いたジョージ・デビット・バーコフによって定義・導入された。

定義

力学系理論の主要な興味の一つは、時間が正の無限大あるいは負の無限大における軌道の極限的な振る舞いにある^[1]。極限集合は、そのような振る舞いを扱うために用意する概念の一つである^[1]^[2]。

極限集合には、後述するように、時間正方向に対して定義する ω 極限集合と、時間負方向に対して定義する α 極限集合がある。これらω 極限集合とα 極限集合を、まとめて極限集合と呼ぶ^[3]。

極限集合はジョージ・デビット・バーコフによって定義・導入された^[4]。バーコフは、アンリ・ポアンカレの影響を受けて現代的な力学系理論の基礎を築いた人物の一人で、特に位相的概念を導入して位相力学系の基礎を築いた^[4]。極限集合は、そのような中で力学系へ導入された位相的概念の一つである^[4]。

連続系

連続力学系（流れ）における ω 極限点 y と ω 極限集合 ω(x₀) の例^[5]

微分方程式系で定義される連続力学系の場合、極限集合は次のように定義される。相空間を R^m とし、相空間上の点を x とすれば、

{\dot {x}}=f(x)

x₀ が平衡点および不動点だとすれば、その極限集合 ω(x₀) および α(x₀) は x₀ 自身だけである^[3]^[13]。x₀ が周期軌道上の点であれば、ω(x₀) および α(x₀) は、その周期軌道である^[25]。また、周期軌道 γ が x₀ ∉ γ の ω(x₀) あるいは α(x₀) に含まれるとき、γ はリミットサイクルと呼ばれる^[26]。

3次元相空間の極限集合は極めて複雑になることもあるが、2次元相空間（相平面）の極限集合はそれと比較して簡単なものに限られる^[27]。f を相平面上（R² または S²）の滑らかなベクトル場とし、ある x₀ から始まる前方軌道が有界であるとする。また、f の平衡点は全て孤立点であるか、有限個であるとする。ポアンカレ・ベンディクソンの定理より、このときの ω(x₀) は以下の3種類のいずれかである^[28]^[29]。

ω(x₀) は、平衡点
ω(x₀) は、周期軌道
ω(x₀) は、ホモクリニック軌道やヘテロクリニック軌道のような、平衡点とそれらを結ぶ軌道からなる集合

出典

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^ ^a ^b ^c ^d ウィギンス 2013, p. 43.
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^ アリグッド, サウアー & ヨーク 2012, pp. 152–153.
^ 齋藤 2004, pp. 118–125.

参照文献

齋藤利弥、2004、『力学系入門』復刊版、朝倉書店 ISBN 4-254-11722-1
Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木紳・三波篤朗・谷川清隆・辻井正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1
K. T. アリグッド・T. D. サウアー・J. A. ヨーク、津田一郎（監訳）、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏（訳）、2012、『カオス　第2巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06279-1
S. ウィギンス、丹羽敏雄（監訳）、今井桂子・田中茂・水谷正大・森真（訳）、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版 ISBN 978-4-621-06435-1
白石謙一、2014、『力学系の理論』オンデマンド版、岩波書店 ISBN 978-4-00-730152-0
青木統夫・白岩謙一、2013、『力学系とエントロピー』復刊、共立出版 ISBN 978-4-320-11043-4
久保泉・矢野公一、2018、『力学系』オンデマンド版、岩波書店 ISBN 978-4-00-730742-3
松葉育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3